浅议巧用旋转解题.doc

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1、浅议妙用旋转解题的新思路广东省台山市育英中学冯彩珍摘要:关键词:初中数学旋转变换新课程标准下的初中数学教材，增添了图形变化的问题，使数学更贴近生活。旋转是几何变换中的基本变换，旋转变换的图形不仅具有丰富多彩、优美动人的图案,更具有很强的探索性和创造性。由于旋转变换图形的动态性,开放性,题设与结论之间关系的明显,从而增加了解题的难度。如果能充分旋转的性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等。(2)对应点到旋转中心所连线段的夹角相等。(3)旋转前、后的图形全等。掌握旋转变换的原则,对给定的图形(或其中一部分图形)，通过旋转，改变位置后重新组合，然后在新的图形中分

2、析有关图形之间的关系，进而揭示条件与结论之间的内在联系，找出解题的新思路。　　旋转变换是一种重要的几何变换，进行几何变换的目的有两个：　　①揭示几何图形的性质或几何量之间的内在联系;　　②使分散的元素集中，从而使表面互不相干的条件变得密切相关。　　什么时候考虑用旋转变换?怎样运用旋转变换呢?下面结合例题谈谈我的对旋转变换的应用：一、遗产分割问题(等分面积)例如图,一财主有一块平行四边形的土地,地里有一个圆形的池塘,财主立下遗嘱:要把这块土地平分给他的两个儿子,中间的池塘也平分,但不知怎么做,你能想个办法吗?分析:这道题实际上是两个中心对称图形的组合图形,要

3、想将其面积等分,只要能找到一条直线,使其既等分平行四边形的面积,又等分圆的面积即可。点评:连接平行四边形的两条对角线,其交点A就是平行四边形的中心,找出圆的圆心B,过A、B作一条直线就将地与池塘的面积等分了。二、三角形类型1.当条件中出现三角形某边的中点时，可用旋转变换来解题。例如图，在△ABC中，D是AB的中点，E、F分别是BC、AC上的点。求证：分析：由于△ADF与△BDE不在一起，因此，我们只需将△ADF绕中点D旋转180°得到△BDG，使其与△BDE组成一个四边形BEDG，从而使问题得到解决。图1点评:当条件中出现三角形某边的中点时，可将某图形绕此

4、中点旋转180°。2.当条件中的三角形是等腰三角形时，可用旋转变换来解题。4例如图，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形内一点，DC＞DB。求证：∠ADB＞∠ADC分析：由于已知两边的大小关系，与要证的两角的大小关系没太大联系，因此我们需要将图形进行适当旋转，使图形发生重组，然后再探究它们的内在联系。点评:当条件中的三角形是等腰三角形时，可将含有该等腰三角形一腰的图形，绕着等腰三角形的顶角顶点进行旋转，使得两腰重合。例如图，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠BDE=90°连接AE、CD。求证：AE=CD.分析：把△CBD绕点C顺时针

5、旋转90°到△CAF位置，易知△CFD为等腰直角三角形，DF=CD由旋转可证AF⊥BD且AF=BD又ED⊥BD且ED=BD，可知AF∥ED且AF=ED，∴四边形AFDE为平行四边形，∴AE=DF，∴AE=CD点评：利用旋转使线段AE、CD集中到一个三角形CDF中，使问题得以解决。3.当条件中的三角形是等边三角形时，可用旋转变换来解题。例如图，等边△ABC中，O为其内一点，且OA＝3，OB＝5，OC＝4，求∠AOC的度数。分析：直接求∠AOC的度数显然很困难。注意到条件中图3的三边长恰是一组勾股数，因此考虑把这三边集中到一个三角形内，可以构造出一个直角三角形

6、，然后再求角度。我们只要把△ABO绕点A旋转60°即可.点评:可将含有该等边三角形一边的图形，绕着等边三角形的顶点进行旋转，使其与另一边重合。三、多边形类型1.当条件中的多边形有两相等的邻边时，可用旋转变换来解题。例如图五边形ABCDE中，AB＝AE，，∠BAE＝∠BCD＝120°，∠ABC＋∠AED＝180°，连结AD。求证：AD平分∠CDE分析：注意到，但BC、DE两条线段不在同一直线上，这是本题的关键。由于AB＝AE，如果连结AC，图4我们把△ABC绕点A旋转，可以使BC、DE移到一起，从而把问题解决。点评:当条件中的多边形有两相等的邻边时，常把含其

7、中一边的三角形进行旋转，使其与另一等边重合。2.当条件中的多边形有直角时，可用旋转变换来解题。4例如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P，若四边形ABCD的面积为18，求DP的长。分析：注意到△ADP为直角三角形而AD＝CD，因此可把△ADP绕点D旋转，把原图形进行分割重组，使问题得到解决。点评:当条件中的多边形有直角时，常先构造直角三角形，再把这个三角形进行旋转。3.当条件图形中出现正方形时，可用旋转变换来解题。例如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各有一点P、Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ。分析

8、：注意到正方形的特征：四边相等，四个内角为直角。我们可以把△DCQ