正弦定理和余弦定理同步练习.doc

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1、正弦定理和余弦定理同步练习班级：姓名：分数：一、选择题1．(2013·宁波模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝(　　)A．－B.C．－1D．1【解析】　由acosA＝bsinB得sinAcosA＝sin2B，∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.【答案】　D2．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是(　　)A．(0，]B．[，π]C．(0，]D．[，π)【解析】　由正弦定理得a2≤b2＋c2－bc

2、，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，则cosA≥.因为0＜A＜π，所以0＜A≤.【答案】　C3．若△ABC中，6sinA＝4sinB＝3sinC，则cosB＝(　　)A.B.C.D.【解析】　由正弦定理得6a＝4b＝3c，所以b＝a，c＝2a.所以cosB＝＝＝.【答案】　D4．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于(　　)A.B.C.D.【解析】　设AB＝a，则由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB知7＝a2＋4－2a，即a2－2a－3＝0，∴a＝3(负值舍去)．∴S△ABC＝AB·BCsinB＝

3、×3×2×＝.∴BC边上的高为＝.【答案】　B5．(2013·温州模拟)若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是(　　)A．(1，)B．(，)C．(，2)D．(1，2)【解析】　如图所示：要使满足条件的△ABC有两个，必须有∴＜a＜2.【答案】　C6．(2013·福州模拟)已知△ABC的面积为，AC＝2，∠BAC＝60°，则∠ACB＝(　　)A．30°B．60°C．90°D．150°【解析】　由S△＝AB·ACsin∠BAC＝ABsin60°＝得AB＝1，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝

4、3，∴BC＝，由正弦定理得＝，∴sin∠ACB＝＝＝，又AB＜BC，∴∠ACB＜60°，∴∠ACB＝30°.【答案】　A7．(2012·湖北高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C，3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为(　　)A．4∶3∶2B．5∶6∶7C．5∶4∶3D．6∶5∶4【解析】　∵A>B>C，∴a>b>c.设a＝b＋1，c＝b－1，由3b＝20acosA，得3b＝20(b＋1)×.化简，得7b2－27b－40＝0.解得b＝5或b＝－(舍去)，∴a＝6，c

5、＝4.∴sinA∶sinB∶sinC＝6∶5∶4.【答案】　D二、填空题8．(2012·北京高考)在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，则∠C的大小为________．【解析】　在△ABC中，由正弦定理可知＝，即sinB＝＝＝.又∵a>b，∴∠B＝.∴∠C＝π－∠A－∠B＝.【答案】　9．(2012·湖北高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________．【解析】　由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得a2＋b2－c2＝－ab，则cosC＝＝－.又因为角C为△ABC的内角

6、，所以C＝.【答案】　10．(2013·昆明模拟)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a2－c2＝b，且b＝3ccosA，则b＝________．【解析】　由余弦定理知b＝3ccosA＝3c×，∴b2＝3(a2－c2)，又a2－c2＝b，∴b2＝3b，∴b＝3.【答案】　311．(2013·绍兴模拟)有一解三角形的题目因纸张破损有一个条件未知，具体如下：在△ABC中，已知a＝，2cos2＝(－1)cosB，________，求角A.经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A＝60°，试将条件补充完整，填在空白处．【解析

7、】　由题知1＋cos(A＋C)＝(－1)cosB，所以1－cosB＝(－1)cosB，解得cosB＝，故B＝45°，又知道A＝60°，所以C＝75°，根据正弦定理＝，可求得c＝，所以空白处可填c＝.【答案】　c＝三、解答题12．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2＋c2＝a2＋bc.(1)求角A的大小；(2)若sinB·sinC＝sin2A，试判断△ABC的形状．【解】　(1)由已知得cosA＝＝＝，又∠A是△ABC的内角，∴A＝.(2)由正弦定理，得bc＝a2，又b2＋c2＝a2＋bc，∴b2＋c2＝2bc.∴(b－c

8、)2＝0，即b＝c.又A＝，∴△ABC是等边三角形．13．(2013·杭州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC＝3acosB－cco