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1、cosA=F+c2-/2bc口a*2^c2-b2cosB=laccosC=2ab教学课题必修5第一章正弦定理和余弦定理同步教案教学目标知识目标：掌握并理解正余弦定理能力目标：通过对正余弦定理的证明，提高学生联系与转化的思维能力情感态度价值观：通过实际问题，让学生体会数学在生活屮无处不在，教学重点与难点正余眩定理的掌握与运用教学过程正弦定理、余弦定理知识梳理R为AABC的外接圆的半径，则有1、正弦定理：在AABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边,丄丄二丄=2R.sinAsinBsinC2、正弦定理的变形公式：©6/=27?sinA,Z?=
2、27?sinB,c=2RsinC；@sinA=—,sinB=—,sinC=-^—；2R2R2R③d:b:c=sinA:sinB:sinC；a+b+c_ci_b_c6.在中，已知°、方和力时，解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形CAA、『Bc关系式a=bsinAbsinAba>b解的个数一解两解一解一解例题精讲
3、【题型一、利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长】【例1]⑴在ABC中，q=1,b=2,cosC=丄，则©=；sinA=4⑵在ABC中，A=60°,AC=2,BC=*，则AB等于.⑶在ABC屮，角A、B
4、、C所对的边分別为b、c,已知A=-,a=,b=翻,则3=6【方法技巧】(1)己知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.(2)己知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意.(3)已知三边，解三角形，利用余弦定理；(4)已知两边与夹角解三角形，利用余弦定理；注(1)在处理解三角形过程小，要注意“整体思想"的运用，可起到事半功倍的效果；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.【题型二、用正、余弦求三角形的面积】【例2】在厶ABC屮，角A,B,C所
5、对的边分别为a,b,c,已知g=3,cos/I=—,5=^4--,32(1)求b得值；(2)求厶ABC的面积.【方法技巧】常用三角形的面积公式①S=—ah一2②S=—absinC=—icsinA=丄acsinB222®S==p-r（p是周长的一半，即卩="+广,尸为内切圆半径）；®S=^（R为外接圆半径）.［解题技巧］有关三角形面积问题的求解方法：（1）灵活运用正、余弦定理实现边角转化；（2）合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、二倍角公式等【题型三、利用正余弦定理判断三角形形状】【例3】I、若厶ABC的三个内角满足sin/:sin
6、3:sinC=5:ll:13,则厶ABC（）（A）一定是锐角三角形.（B）—定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.（D）可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.II、在厶ABC中，若2cosBsin^=sinC,则的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【方法技巧】依据己知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：1.利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断•三角形的形状；2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒
7、等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A+B+C=n这个结论.巩固训练1在ABC中，a=3,b=5,sinA=-,贝＞JsinB=（）3（A）丄（B）-（C）—（D）15932、在FC中，角八B、C所对的边分别为°、b、c,已知八令E,Z，则，3、在锐角中MBC,角所对的边长分别为Q,b.若2r/sin5=V3/>JiJ角/等于()7c7Df4、在山眈中，内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,，若3a=2b,则2sin2sh?A的值为(sin2A)C.lD.l25、在ABC中，A=60°,AC=2,BC=y[3
8、9贝9等于6、在AABC中，a、b、c分别为内角/、B、C的对边，且2asiri/l=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC(I)求/的大小；(II)若sin5+sinC=1,试判断ABC的形状.思维总结1.解斜三角形的常规思维方法是：(1)已知两角和一边(女WA.B、C),由/+g+c=;r求C,由正弦定理求a、b；(2)己知两边和夹角(如°、b、c),应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用/+B+C=tt,求另i角；(3)已知两边和其中一边的对角(如a、b、A),应用正眩定理求3,由A+B+C'=7t求C,再
9、由正眩定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况;（4）已知三边a、b、c,应余弦定理求/、B,再由A+B+C=7ir求角C。1.三角学中的射影定理：在AABC中
