依随机序正相依风险下的最优再保险.pdf

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1、应用概率统计第二十九卷ChineseJournalofAppliedProbability第六期2013年12月andStatisticsVo1．29No．6Dec．2013依随机序正相依风险下的最优再保险冰张节松，肖庆宪(上海理工大学管理学院，上海，200093；淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000)摘要经典的二元复合Poisson风险模型假定索赔次数通过一个共同的Poisson分布相关，而索赔额相互独立．本文中，我们假定索赔次数与索赔额均依随机序正相依，通过比较，发现依随机序正相依是一个比依共同Poisson分布相关更弱的条件．实际上，依随机

2、序正相依的假定较独立、共同单调、条件随机递增等都要弱．在依随机序正相依的风险下，我们得到了最优再保险策略，并针对二维与随机多维混杂的相依风险，在自留损失的方差最小和二次效用最大的准则下，给出了自留向量的显式表达式，部分解决了Cai和Wei(2012a)提出的多维相依风险下，求解此类表达式的问题．关键词：PDS，二元复合泊松模型，最优再保险连接函数．学科分类号：O211．9．§1．引言二元复合Poisson模型是研究包含两险种的风险模型．该模型一个典型的实例是当严重的交通事故发生时，将同时产生车险与医疗方面保险的索赔．当前，与此模型相关的研究已有不少，如A

3、Inbagaspitiya(1999)，Wang和Yuen(2005)，Centeno(2005)，Yuen和Guo等(2006)，朱(2009)，Lv和Guo等(2011)．上述文献假定表示索赔次数的随机变量通过一个共同的Poisson分布相关，而表示索赔额的随机变量是相互独立的．然而在保险实务中，当严重的交通事故，或者地震、飓风、洪水等巨灾发生时，索赔额之间显然具有一定的正相依关系，而且会产生大量的索赔，因此本文假定任一险种的索赔额以及两险种的索赔次数分别依随机序正相依．我们将在一个统一的优化标准下，讨论原保险公司的最优再保险策略，在自留损失的方差最

4、小和二次效用最大的准则下，求解自留向量的显式表达式．由于相依关系的引入以及二维与随机多维风险的混杂，使得相关文献中的方法不再适用．因此，我们应用Cai和、vei(2012b)中连接函数在增变换(无须严格增)下保持不变的性质，成功求得了最优再保险策略；与Cai和wlei(2012a)不同，我们应用单侧导数及恰当的不等式放缩，发现了自留损失的方差随自留向量的变化趋势，从而得到了白留向量的显式表示；在引理4．4的证明中多次出现索赔次数无界所引起的困难，我们应用Cauchy—Schwarz~I理及测度论的相关数学工具解决了这一问题，而没有采取通常的截尾法，因而我

5、们的做法更符合市场实际．国家自然科学基金项目(11171221)~I淮北师范大学青年科研项目(2013XQZ12)资助本文2013年1月21日收到，2013年10月14日收到修改稿．第六期张节松肖庆宪：依随机序正相依风险下的最优再保险本文安排如下：第二部分首先给出了几个正相依的概念，再给出本文所采用模型的数学定义；第三部分讨论了原保险公司依凸序最优的再保险策略；在第四部分，按照自留总损失的方差最小与二次效用最大的准则，我们给出了自留向量的显式表达式；第五部分是全文的总结．§2．模型介绍首先，我们给出几个正相依的概念．定义2．1称两个随机变量斯口y是正象限

6、相依(positivelyquadrantdependent，PQD)的，如果对任意的实数和Y，有P(X>，y>Y)P(>x)P(Y>)．一个随机变量y的支撑，表示为(y)，指的是R上使得P(Y∈S(y))=1的Borel集．一个随机变量z或者其分布称为PF2(Pdlyafrequencyoforder2)的，如果z的概率分布或密度函数是对数1~(1og-concave)的．定义2．2随机变量称为关于随机变量y随机递增(stochasticallyincreasing，si)，如果对任意固定的X∈R，P(X>xlY=)关于Y∈S(y)递增，记为下sIy．

7、实际上，下sIy当且仅当E()Iy=关于∈s(y)递增对所有使得该条件期望存在的增函数札成立．定义2．3随机向量(1⋯．，)称为关于随机变量y随机递增，若E[u(Xl⋯．，)lY=关于∈S(y)递增对所有使得该条件期望存在的增函数u成立，记作(x1⋯．，％)个sIy．进一步，随机向量(1⋯．，)称为依随机序正相依(positivelydependentthroughthestochasticordering，PDS)的，如果对任意的i=1⋯．，佗，有(xi⋯．，一1，xi+1⋯．，)tsI．与Cai和Weif2012a)中命题3．8一样：定义2．4称(l

8、⋯．，)是PDS的，其中Ⅳ为一个计数随机变量，如果对任一佗=2，3⋯．，随机向量