机械振动-简谐运动的基本概念.doc

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1、简谐运动在一切振动中，最简单和最基本的振动称为简谐运动，其运动量按正弦函数或余弦函数的规律随时间变化。任何复杂的运动都可以看成是若干简谐运动的合成。本节以弹簧振子为例讨论简谐运动的特征及其运动规律。一、简谐运动的基本概念：1．弹簧振子：轻质弹簧(质量不计)一端固定，另一端系一质量为m的物体，置于光滑的水平面上。物体所受的阻力忽略不计。设在O点弹簧没有形变，此处物体所受的合力为零，称O点为平衡位置。系统一经触发，就绕平衡位置作来回往复的周期性运动。这样的运动系统叫做弹簧振子（harmonicOscillator），它是一个理想化的模型。2．弹

2、簧振子运动的定性分析：考虑物体的惯性和作用在物体上的弹性力：B→O：弹性力向左，加速度向左，加速，O点，加速度为零，速度最大；O→C：弹性力向右，加速度向右，减速，C点，加速度最大，速度为零；C→O：弹性力向右，加速度向右，加速，O点，加速度为零，速度最大；O→B：弹性力向左，加速度向左，减速，B点，加速度最大，速度为零。物体在B、C之间来回往复运动。结论：物体作简谐运动的条件：l物体的惯性——阻止系统停留在平衡位置l作用在物体上的弹性力——驱使系统回复到平衡位置二、弹簧振子的动力学特征：1．线性回复力分析弹簧振子的受力情况。取平衡位置O点

3、为坐标原点，水平向右为X轴的正方向。由胡克定律可知，物体m(可视为质点)在坐标为x(即相对于O点的位移)的位置时所受弹簧的作用力为f=-kx式中的比例系数k为弹簧的劲度系数（Stiffness），它反映弹簧的固有性质，负号表示力的方向与位移的方向相反，它是始终指向平衡位置的。离平衡位置越远，力越大；在平衡位置力为零，物体由于惯性继续运动。这种始终指向平衡位置的力称为回复力。2．动力学方程及其解根据牛顿第二定律，f=ma可得物体的加速度为对于给定的弹簧振子，m和k均为正值常量，令则上式可以改写为即或这就是简谐运动的微分方程。三、简谐运动的运动

4、学特征：1．简谐振动的表达式（运动学方程）简谐运动的微分方程的解具有正弦、余弦函数或指数形式。我们采用余弦函数形式，即这就是简谐运动的运动学方程，式中A和φ是积分常数。说明：1）简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的，只有正弦函数、余弦函数或它们的组合才具有这种性质，这里我们采用余弦函数。2）考虑三角函数与复数的关系，则。用复数表示简谐运动，其优点是运算比较简单。2．简谐振动物体的速度和加速度将简谐运动的运动学方程分别对时间求一阶和二阶导数，可得简谐运动的速度和加速度为说明：l物体在简谐运动时，其位移、速度、加速度都是周期性变化的。l简谐运动

5、不仅是周期性的，而且是有界的——只有正弦函数、余弦函数或它们的组合才具有这种性质——采用余弦函数。二、简谐运动的特点：1．从受力角度来看——动力学特征合外力f=-kx与物体相对于平衡位置的位移成正比，方向与位移的方向相反，并且总是指向平衡位置的。此合外力又称为线形回复力或准弹性力。2．从加速度角度来看——运动学特征加速度与物体相对于平衡位置的位移成正比，方向与位移的方向相反，并且总是指向平衡位置的。3．从位移角度来看：位移是时间的周期性函数。说明：1）要证明一个物体是否作简谐运动，只要证明上面三个式子中的一个即可，且由其中的一个可以推出另外

6、两个；2）要证明一个物体是否作简谐运动最简单的方法就是受力方析，得到物体所受的合外力满足回复力的关系。例题：一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为m的物体。今将物体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐运动。证明：取物体平衡位置为坐标原点，竖直向下为x轴的正方向，如图所示。物体在平衡位置时所受的合力为零，即mg-kl=0(1)其中mg为物体的重力，l为物体平衡时弹簧的伸长量。在任一位置x处，物体所受的合力为F=mg-k(x+l)(2)比较(1)、(2)可得F=-kx(3)可见物体所受的合外力与位移成正比，而方向相反，所以该物体将作简谐运动。

7、简谐运动的振幅、周期和相位Amplitude,PeriodandFrequency，PhaseofSimpleharmonicVibration现在我们讨论简谐振动运动学方程x=Acos(ωt+φ)中的A、ω、ωt+φ、φ的物理意义。它们分别是描述谐振动的特征量：振幅、频率和周期、相位和初相。振幅、周期和相位等都是描述简谐运动的物理量。一、振幅A(Amplitude)—反映振动幅度的大小引入：在简谐运动的表达式中，因为余弦或正弦函数的绝对值不能大于1，所以物体的振动范围为+A与-A之间。定义：作简谐运动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。

8、说明：(1)A恒为正值，单位为米(m);(2)振幅的大小与振动系统的能量有关，由系统的初始条件确定。二、周期T(Period)与频率(Frequency)—反映振动的快慢1．周期