机械振动——简谐运动的基本概念2

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1、机械振动——简谐振动的基本概念旋转矢量引言：前面介绍了用数学表达式及曲线表示简谐运动中位移和时间的关系。本节将介绍用旋转矢量表示位移和时间的关系。引入旋转矢量的优点：1）形象地了解简谐运动的各个物理量；2）为简谐运动的合成提供了最简捷的研究方法。一、旋转矢量图示法：一长度为A的矢量在XOY平面内绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度为ω，在t=0时，矢量与X轴的夹角为φ；这样的矢量称为旋转矢量。在任意时刻，矢量与X轴的夹角为，的矢端M在轴上的投影为。即：旋转矢量本身并不作简谐运动，而是旋转矢量的矢端在X轴上的投影点在作简谐运动。在旋转矢量的转动过程中，矢端作匀速圆周运动

2、，此圆称为参考圆。二、旋转矢量与简谐运动的关系：简谐振动的方程x=Acos(ωt+φ)，根据几何学原理可以把它看作一旋转着的矢量A在x轴上的投影。振幅矢量转动一周，相当于振动一个周期。当一矢量A绕其一端点o以角速度w旋转时，另一端点在x轴或y轴上的投影点上将作简谐振动。设t=0时，A与x轴夹角为j，t时刻，A转过wt角，则矢量端点在x轴上投影点坐标为x=Asin（ωt+φ）。显然投影点作简谐振动的振幅、圆频率、初相与A矢量大小、旋转角速度、初始A与x轴夹角一一对应。当然，投影点的速度和加速度也与简谐振动的速度和加速度相对应。A←→振幅w←→圆频率φ←→初相位ωt+

3、φ←→相位117机械振动——简谐振动的基本概念三、旋转矢量的应用：1．作振动图(演示)：用旋转矢量A来表示简谐振动形象直观，一目了然，在以后分析两个以上谐振动合成时十分有用和方便。旋转矢量图及简诣运动的x-t图2．求初相位：如图，质点在x=A/2处向右运动，质点在x=A/2处向左运动，质点在x=-A/2处向右运动，质点在x=-A/2处向左运动，3．可以用来求速度和加速度：矢端M的速度与加速度大小为、，在X轴上的投影为4．振动的合成(第6节内容)例：一个质点沿x轴作简谐运动，振幅A=0.06m，周期T=2s，初始时刻质点位于x0=0.03m处且向x轴正方向运动。求：

4、（1）初相位；（2）在x=-0.03m处且向向x轴负方向运动时物体的速度和加速度以及质点从这一位置回到平衡位置所需要的最短时间。解：（1）取平衡位置为坐标原点，质点的运动方程可写为依题意，有A=0.06m，T=2s，则在t=0时，因而解得故振动方程为117机械振动——简谐振动的基本概念（SI）用旋转矢量法，则初相位在第四象限，故。（2）时，且为第二象限角，故得t1=1s，因而速度和加速度为从x=-0.03m处且向向轴负方向运动到平衡位置，意味着旋转矢量从M1点转到M2点，因而所需要的最短时间满足故可见用旋转矢量方法求解是比较简单的。117机械振动——简谐振动的基本

5、概念单摆与复摆引言：实际发生的振动问题并不象弹簧振子那么简单，大多数比较复杂；例如1）回复力不一定是弹性力，而是重力，浮力等其它性质的力；2）合外力可能是非线性力，只有在一定的条件下，才能近似当作线性回复力。此时研究问题的方法一般为：根据问题的性质，突出主要因素，建立合理的物理模型，使计算简化。下面讨论两个实际振动问题的近似处理。一、单摆——数学摆（MathematicalPendulum）1．概念：单摆是一个理想化的振动系统：它是由一根无弹性的轻绳挂一个质点构成的。若把质点从平衡位置略为移开，那么质点就在重力的作用下，在竖直平面内来回摆动。摆锤——重物摆线——细

6、绳平衡位置——O点2．动力学方程讨论摆锤所受的力，有重力mg，绳的拉力T，合力即为摆锤所受的回复力为：当θ很小时（θ<50），sinθ≈θ因而F=-mgθ与角位移成正比又因为摆锤沿圆弧运动，，近似在水平方向上运动。因而故单摆作简谐运动，mg/l相当于弹簧振子的k因而单摆的圆频率为3．运动学方程和周期单摆的振动方程为振幅x0和初相φ由初始条件确定。由简谐运动的周期公式得单摆的周期为4．说明：1）单摆的合外力与弹性力类似，但本质不同，称为准弹性力；2）单摆的周期与单摆的质量无关；3）若单摆的振幅不是很小时，周期的一般表达式为式中θm为最大摆角，并且含有θm的各项逐渐减

7、小；当θm<150时，实际周期与理想周期的误差不超过0.5%。117机械振动——简谐振动的基本概念4）单摆可以当作计时器；5）单摆提供了一种测量重力加速度的简便装置，只要测出周期T，则5．单摆的频率二、复摆——物理摆（PhysicalPendulum）1．概念：质量为m的任意形状物体，被支持在无摩擦的与纸面垂直的水平轴O上，将它拉开一个微小的角度θ后释放。如忽略阻力与摩擦力，则物体将绕轴O作微小的自由摆动——复摆。2．运动方程重力矩：M=-mglsinθ≈-mglθ当θ很小时（θ<50），sinθ≈θ根据转动定律，可得故令则所以复摆也是作简谐运动。3．周期与频率4

8、．应用1）