高中数学奥林匹克竞赛训练题（34）.doc

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1、数学奥林匹克高中训练题（34）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题34)对于一切实数x，所有的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＜b)的值恒为非负实数.则的最小值是(D)．(A)(B)(C)2(D)32．(训练题34)已知曲线y2=ax与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点.如果过这两个交点的直线的倾斜角为45°，那么实数a的值是(A)．(A)2(B)4(C)(D)3．(训练题34)已知△ABC的三边长a、b、c满足关系式a2－a－2b－2c=0，a+2b－2c+3=0.则△ABC最大

2、内角的度数是(B)．(A)150°(B)120°(C)90°(D)60°4．(训练题34)设f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d，其中a、b、c、d为常数.如果f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3，那么的值是(C)．(A)1(B)4(C)7(D)85．(训练题34)设函数且的最小值为an，最大值为bn，记cn=(1－an)(1－bn).则数列{cn}(C)．(A)是公差不为零的等差数列(B)是公比不为1的等比数列(C)是常数列(D)不是等差数列也不是等比数列6．(训练题34)设M是集合S={1，2，3，…，19

3、98}的子集，且M中每一个正整数（元素）仅含有一个0.则集合M所含元素最多有(D)．(A)324个(B)243个(C)495个(D)414个二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题34)已知关于x的实系数方程x2－2x+2=0和x2+2mx+1=0的四个不同的根在复平面内对应的点共圆，则m取值的集合是．2．(训练题34)已知.则tan2α的值是．3．(训练题34)自椭圆的中心作两条互相垂直的弦AC和BD，顺次连结A、B、C、D得一四边形.那么四边形ABCD面积S的最大值是12．4．(训练题34)设正数数列{

4、an}的前n项和为Sn，且存在正数t，使得对于所有的正整数n有成立.如果，那么t的取值范围是．5．(训练题34)已知球内接四棱锥S—ABCD的底面是矩形ABCD，且SA=4，SB=8，SD=7，∠SAC=∠SBC=∠SDC.则BD的长是BD＝9．6．(训练题34)已知正整数m、n满足m+n=19.则关于x的方程cosmx=cosnx在区间[0，π]上的解的个数的最大值是．三、(训练题34)(本题满分20分)复数z1、z2、z3、z4、z5满足，求

5、z5

6、的最大值．四、(训练题34)(本题满分20分)设t1、t2是方程t

7、2－(5a－2)t－3a2－7a+1=0的两个不等的实根.求实数a的值，使得对于任何非零实数m，函数是周期函数．五、(训练题34)(本题满分20分)如图，三棱锥P—ABC的底面ABC与圆锥SO的底面⊙O都在平面α上，且⊙O过点A，又⊙O的直径AD⊥BC，垂足为E.设三棱锥P—ABC的所有棱长都是1，圆锥的底面直径与母线长也都是1.求圆锥的顶点S到三棱锥P—ABC的三个侧面的距离．ECDSBAPO第二试一、(训练题34)(本题满分50分)设0＜x1＜x2＜…＜xn＜1.求证：．二、(训练题34)(本题满分50分)设凸六边

8、形ABCDEF的六个内角均为钝角，且AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA.以三边AB、CD、EF为边向内各作一个矩形，使它们的顶点两两重合，构成△PQR（如图）.求证：矩形ABRQ、CDPR、EFQP的面积之比等于sin2C∶sin2E∶sin2A．三、(训练题34)(本题满分50分)给定平面上n（n≥2）个相异的点．证明：其中距离为1的点对不超过