高中数学奥林匹克竞赛训练题（36）.doc

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1、数学奥林匹克高中训练题（36）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题36)给定三个二次三项式：P1(x)=x2+b1x+c1，P2(x)=x2+b2x+c2，P3(x)=x2+b3x+c3.则方程

2、P1(x)

3、+P2(x)=

4、P3(x)

5、至少有(C)个根．(A)4(B)6(C)8(D)以上都不对2．(训练题36)函数在区间上是减函数.则a的取值范围是(B)．(A)0≤a≤2(B)≤a≤2(C)0≤a≤2或a≤－4(D)≤a≤2或a≤－43．(训练题36)空间中有九个点，其中任四点不共面，在这九点间连接若干

6、条线段，使图中不存在四面体.则图中最多有(D)个三角形．(A)21(B)24(C)25(D)274．(训练题36)设A={(x，y)

7、0≤x≤2，0≤y≤2}，B={(x，y)

8、x≤10，y≥2，y≤x－4}是直角坐标平面xOy上的点集.则所成图形的面积是(D)．(A)6(B)6.5(C)2π(D)75．(训练题36)a1，a2，…，a6是和为23的六个两两不同的正整数.那么a1a2+a2a3+…+a5a6+a6a1的最小值为(B)．(A)62(B)64(C)65(D)676．(训练题36)设，与B={(x,y)

9、

10、x－1

11、

12、+2

13、y－2

14、≤a}是直角坐标平面xOy内的点集.则的充要条件是(A)．(A)a≥2(B)a≥(C)a≥(D)a≥3二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题36)平坦的桌面上，放有半径分别1，2，2的三个木球，每球与桌面相切，且与其余两球外切另外，在桌面上还有一个半径小于1的小木球在三球之间，与桌面相切，且与三木球都外切.那么，这个小木球的半径为．2．(训练题36)设a1≥a2≥…≥an是满足下列条件的n个实数：对任何整数k＞0，有≥0成立.那么，p=max{

15、a1

16、,

17、a2

18、,…,

19、an

20、}=．3．(训练题36

21、)m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的和为117.对于所有这样的m与n，3m+2n的最大值是37．-3-4．(训练题36)已知点（a，b）在曲线arcsinx=arccosy上运动，且椭圆ax2+by2=1在圆的外部（包括两者相切的情形）.那么，arcsinb的取值范围为．5．(训练题36)不等式的解集，是总长为2的一些不相交的区间的并集．6．(训练题36)在四张卡片的正反面上分别写有0与1，0与2，3与4，5与6，将其中任三张并排放在一起组成三位数，总共可得124个不同的三位数．三、(训练题36)(本题满分20分)

22、证明：（1）对于任何x，数

23、sinx

24、与

25、sin(x+1)

26、中至少有一个大于；（2）．四、(训练题36)(本题满分20分)通过四面体ABCD的棱AD和BC的中点K、N作平面，交棱CD点M，交棱AB于点L.证明：（1）

27、DM

28、∶

29、MC

30、=

31、AL

32、∶

33、LB

34、；（2）面积S△KLN=S△KMN．五、(训练题36)(本题满分20分)在复平面上有三个点：c1=a+bi，c2=m+bi，c3=a+ni，其中a＞m，n＞b，C1C2C3（这里Ci表示复数ci对应的点）组成一个三角．证明：满足的复数z所代表的点Z，位于这个三角形的内部．第二

35、试一、(训练题36)(本题满分50分)Rt△CDF中，∠D=90°，DO⊥CF，O为垂足.以C为圆心、CD为半径作一圆，AA′为过O点的圆C的动弦，E为直线A′A上一点，且EF⊥CF．证明：由A、A′至EF的距离的倒数和为定值．二、(训练题36)(本题满分50分)（1）当0≤x≤1时，求函数的取值范围；（2）证明：当0≤x≤1时，存在正数β，使得不等式成立的最小正数α=2.并求此时的最小正数β．-3-三、(训练题36)(本题满分50分)（1）对于三点A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)组成的三角形，有x

36、1＜x2＜x3．证明：当d适当小时，点(x2，y2－d)及点(x2，y2+d)，一在形内，一在形外．（2）S是平面上n(n≥3)个点Ai组成的集合，S中任三点不共线．证明：平面上存在一个含有2n－5个点的集合P，使S中任意三点所组成的三角形内部至少有一个P集中的点.试问：对于怎样的n点，这样的P集的点数尚可减少？-3-