曹广福版实变函数第三章习题解答.doc

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1、第三章习题参考解答1.设是上的可测函数,证明:,是可测集.解:,因为是上的可测,所以与均是可测集.从而可测.2.设是上的函数,证明:在上的可测当且仅当对一切有理数,是可测集.证:,取单调递减的有理数序列使得,则.由每个}的可测性,知可测.从而,在上的可测.设在上的可测,即,可测.特别地,当时有理数时,可测.3.设是上的可测函数,证明:对于任意的常数,是上的可测函数.为证上述命题,我们先证下面二命题:命题1.若是中的非空子集,则,有证明:当时,因为,则.不妨设,.因为,为开区间.,存在开区间序列,,.又因为(注:若,则.所以.由得任意性,有为开区间故存在开区间,使,且.又因

2、为,故.由得任意性,有从而.命题2.设,,则可测,可测.(由P54.19题的直接推论).证:是直接的,我们仅需证明,如果,则为零测集.故可测.不妨设.现在证明,.事实上,对于,则,因为在可测,所以,即即可测.3.设是上的可测函数,证明:对于任意常数,仍是上的可测函数.解:记,对于,当时,,.故可测所以:可测.当时,,令,则=.在因为在可测,故可测,又由命题2,可测.从而使上哦可测函数.4.设是上的可测函数,证明:在上可测.证明:,因为在上可测.所以是可列集.即可测.从而在上可测.5.若上的函数在任意线段上可测,试证它在整个闭区间上也可测.证明:,,在上可测,记,则.又因为

3、,.由每个的可测性,得可测.所以在可测.令,即.故可测,从而在上可测.7.设是上的可测函数,证明:(i)对上的任意开集,是可测集;(ii)对中的任何开集,是可测集;(iii)对中的任何型集或型集,是可测集.证:(i)当时中有界开集时,由第一章定理11(P.30),是至多可数个互不相交的开区间的并,即.由在上哦可测性,知:每个可测,从而可测.若是的误解开集,,记,则是中有界开集,且,故.故由得可测性,知可测.(ii)设是中的任一闭集,记是中开集.=,即.由与得可测性,知,可测.(iii)设,分别为中型集和型集.即,存在开集列,闭集列使得,从而,且.由与的可测性,知与均可测.

4、8.证明:上两个可测函数的和仍是可测函数.证明:设,是上的两个可测函数,令,==.由,在可测,知,在可测.从而,与可测.故可测.又因是零测集,故可测.从而在上可测.9.证明:若是及上的非负可测函数,则也是上的非负可测函数.证明:因为是及上的非负可测函数,则,与均可测.于是,记,则可测.从而在上非负可测.10.设是中有界可测集,是上几乎处处有限的可测函数,证明:,存在闭集,使得,而在上有界.证明:(法一)由定理,,闭集,使得且在上连续,现在证在上有界.如果在无界,即,使得.特别的,当时,有;当,,使得;当时,,使得,从而,得中互异点列,使得,,即.另一方面,因为为有界,且,

5、故有一收敛子列,不妨设,则,又因为在连续.对,,时,恒有,即.取,,则,但由得定义,有,这是一矛盾.从而在有界.证明:(法二)由定理,,闭集,使得且在上连续,现在用有限覆盖定理证:在上有界.,因为在连续.所以对,使得,恒有:,即.从而.因为是有界闭集,故由有限覆盖定理,存在,,,,使得.取,则,有,.从而在有界.11.设是上的可测函数序列,证明:如果,都有,则必有.证:,因为,故.又因为故,故12.证明:如果是上的连续函数,则在的任何可测自己上都可测.证明:(1)先证:在上可测.令,,因为.现在证:是一个开集.事实上,,,取.因为在连续,则对于,,使时,,即,故,从而为开

6、集,可测.即,在上可测.(2)再证:可测,在可测.事实上,这是P59性质2的直接结果.14.设,是上的两个可测函数序列,且,,都是上的有限函数证明:(i)是上可测函数(ii)对于任意实数,,若,则还有(iii)若,且,在上几乎处处不等于0,则(iv).证明:(i)因为,是可测函数列,由定理,有一个子列,使得.再由P62性质4,是在可测,同理,在可测.(ii)先证:当时,,有.事实上,当时,,.所以.当时,因为,故.从而.再证:.事实上,,..所以:.(iii)现在证:.先证:,必有.事实上,若(对于某个).因为,而,,则是有界无穷数列.故存在的子列使得.事实上,如果每个的

7、收敛子列都.故,时,恒有.倘若不然,无穷个,使得.即是有界无穷点列,它有一收敛子列.不妨设这收敛子列就是它本身.因为,,故.故这与得每个收敛子列都为零极限矛盾,从而,,使得时,有.即,这与矛盾.所以有子列使得.另一方面:因为,所以.故由定理有一子列,有,从而.故这与矛盾.从而,最后证:.事实上,.习题14(iii)引理例1,设,都是上的可测函数列且,如果,则.证明:设,若,即使得即,,,有.特别的,当时,,有;当时,,有;当时,,有这样继续下去,得的一子列使得,,即是一个有界的无穷数列,有一收敛子列,.另一方面,因为,所以,由

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