实变函数[曹广福]1到5章答案及解析

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1、WORD格式编辑整理第一章习题参考解答3.等式成立的的充要条件是什么?解:若,则.即,.反过来,假设,因为.所以,.故,.最后证,事实上,,则且。若,则;若,则,故.从而,..即.反过来,若,则因为所以又因为,所以故另一方面,且,如果则;如果因为,所以故.则.从而于是,4.对于集合A,定义A的特征函数为,假设是一集列,证明:(i)(ii)证明:(i),,时,.所以,所以故专业资料分享WORD格式编辑整理,有有,故,即=0,从而5.设为集列,,证明(i)互相正交(ii)证明:(i);不妨设n>m,因为,又因为,所以,故,从而

2、相互正交.(ii)因为,有,所以,现在来证:当n=1时,;当时,有:则事实上,,则使得,令则,其中,当时,,从而,6.设是定义于E上的实函数,a为常数,证明:(i)=(ii)=证明:(i)且反过来,,使专业资料分享WORD格式编辑整理即故所以故7.设是E上的实函数列,具有极限,证明对任意常数a都有:证明:,即,且因为,使,有,故所以=,由k的任意性:,反过来,对于,,有=,即时,有:且,所以,且.,故从而故=8.设是区间(a,b)上的单调递增的序列,即若有极限函数,证明:,证明:,即:且,因为所以,恒有:,从而,专业资料分

3、享WORD格式编辑整理反过来,,使,故,因此,且,即,,从而,10.证明:中坐标为有理数的点是不可数的。证明:设Q为有理数集,由定理6:Q是不可数的。现在证:可数,因为是可数个有理数集的并,故可数,又因为并且,所以可数故可数14.证明:可数集的有限子集的全体仍是可数证明:设Q为可数集,不妨记为:,令则为有限集(),则为正交可数集,即又因为,所以,故A是Q上一切有限子集的全体。15.设是两两不相交的集所组成的集列,证明:证明:因为{}两两不相交,所以,,故另一方面,若,我们取则,使得.特别的,当时,,当时:(从而,专业资料分

4、享WORD格式编辑整理这与矛盾,故从而16.若集A中每个元素由相互独立的可列个指标所决定,即A=,而每个指标在一个势为C的集中变化,则集A的势为C。证明:设在势为C的集合中变化,即A=因是既单又满的映射,定义,故得既单又满的映射,从而,从而17.设的势是C,证明至少有一个的势也是C。证明:因为,所以如果,则,即,正交可数,从而,正交可数.这与矛盾.故,,使.18.证明:[0,1]上的实函数全体具有势证明:设,则记[0,1]上全体是函数所构成的集合为对于,定义函数,即是集合A的特征函数。专业资料分享WORD格式编辑整理另一方

5、面,,定义则,,则,所以,从而,20.证明:中孤立点集市有限或可数集证明:中,是的一些孤立点所构成的集合由定义,,使得.现在令,则中任意二领域是不相交的事实上,若,有取,并且不失一般性设:,则.故,这推出,这与矛盾.,取一个有限点,则,当,,所以,故.E正交可数.19.设称为E的内点集,证明:是开集。证明:,因为x为E的内点,使得:,现在证:事实上,,取则,故,从而,,即中每个点都是得内点因此,为开集专业资料分享WORD格式编辑整理21.假设是[a,b]上唯一有限实函数,证明:它的第一类间断点的全体是可数的。证明:[a,b

6、]中右极限存在的间断点是至多可数的.令有限},,作:,时,使得则:(1)上连续点的集合事实上,,取因,故有即,在点连续。(2),因有限,故使得,,故,有,从而,.现在证:是两两不相交的开区间集不妨设,如果,取则即,,这与矛盾,故A两两不相交,从而可数故至多可数。即,中第一类间断点至多可数。20.证明中孤立点集是至多可数集证明:设F是点集E中一些孤立点所构成的集合,有现在先证:是两两不相交的专业资料分享WORD格式编辑整理事实上,,如果,则(不妨设),故,这与矛盾.所以,是两两不相交的.,取有理点,故,从而,22.证明:中直

7、线上每个闭集必是可数个开集的交,每个开集必是可数个闭集的并.证明:设F是中的一个闭集,先证:,=

8、是R中的开集,其中,则,取,故事实上,,所以是开集现在证:、事实上,,,所以.反过来,,有.故.,即.,使.所以.故,,这与矛盾.所以,从而.再来证:每个开集必是可数个闭集的并.事实上,若是开集,则是闭集.所以存在可数个开集,使得,所以.即是可数个闭区间集的并.23.假设是一列开区间,如果,证明是一个开区间专业资料分享WORD格式编辑整理证明:,记,,其中,因为,所以可取现在我们证:因为,,故反过来,,即,当时,因为,所以,有

9、.所以.如果,,使,故,从而24.设,是E的一个开覆盖,证明:中必存在至多可数个,使得.证明:不妨设中每一个元都是开区间.,存在,有,故有:端点的开区间,使得.即,.又因为~所以可数.不妨设=,又记.其中,故25.已知:可数集,开区间列,,,覆盖了它,这里,从此覆盖中能否选出集的有限子覆盖.答:不能,证

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