实变函数论与泛函分析曹广福1到5章课后答案

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1、第一章习题参考解答第一章习题参考解答3．等式(AB)CA(BC)成立的的充要条件是什么？解：若(AB)CA(BC)，则C(AB)CA(BC)A.即，CA.反过来,假设CA,因为BCB.所以,ABA(BC).故,(AB)CA(BC).最后证，A(BC)(AB)C事实上，xA(BC),则xA且xBC。若xC，则x(AB)C；若xC，则xB，故xAB(AB)C.从而,A(BC)(AB)C.C(AB)CA(BC)AA.即C

2、A.反过来，若CA，则因为BCB所以ABA(BC)又因为CA，所以CA(BC)故(AB)CA(BC)另一方面，xA(BC)xA且xBC，如果xC则x(AB)C；如果xC,因为xBC，所以xB故xAB.则x(AB)C.从而A(BC)(AB)C于是，(AB)CA(BC)1,xA4．对于集合A，定义A的特征函数为A(x)，假设A1,A2,,An是0,xA一集列，证明：（i）(x)liminf(x)liminfAAnnnn（ii）(x)l

3、imsup(x)limsupAAnnnn证明：（i）xliminfAn(An)，n0N，mn0时，xAm.nnNmn所以Am(x)1，所以minfnAm(x)1故limninfAn(x)supinfmnAm(x)10bN1第一章习题参考解答xliminfAnN，有xAknnnnnmn有xAkmAkn0infmnAm(x)0，故supinfmnAm(x)0，即limninfAn(x)=0，bN从而(x)liminf(x)liminfAAnnnni15

4、．设{A}为集列，BA，BAA(i1)证明n11iijj1（i）{B}互相正交nnn（ii）nN,ABiii1i1n1证明：（i）n,mN,nm；不妨设n>m，因为BAAAA，又因nninmi1为BA，所以BAAAB，故BB，从而B}相互正交.mmnnmnmnmnn1nnnn（ii）因为i(1in)，有BA，所以BA，现在来证：ABiiiiiii1i1i1i1当n=1时，AB；11nn当n1时，有：ABiii1i1n1nn1nnn则A

5、(A)A(A)(AA)(B)(BB)iin1in1iin1ii1i1i1i1i1i1n事实上，xA，则i(1in)使得xA，令imini

6、xA且1inii0ii1i01ni01nn则xAABB，其中，当i1时，A，从而，ABi0ii0i0iiii1i1i1i1i16．设f(x)是定义于E上的实函数，a为常数，证明：1（i）E{x

7、f(x)a}={f(x)a}n1n1(ii)E{x

8、f(x)a}={f(x)a}n1n证明

9、：（i）xE{x

10、f(x)a}xE且f(x)a11nN,使得f(x)aa且xExE{x

11、f(x)a}nn11xE{x

12、f(x)a}E{x

13、f(x)a}E{x

14、f(x)a}n1nn1n11反过来，xE{xx

15、f(x)a},nN，使xE{x

16、f(x)a}n1nn2第一章习题参考解答1即f(x)aa且xE故xE{x

17、f(x)a}n1所以E{x

18、f(x)a}E{x

19、f(x)a}故n1n1E{x

20、f(x)a}E{x

21、f(x)a}n1n

22、7．设{f(x)}是E上的实函数列，具有极限f(x)，证明对任意常数a都有：n11E{x

23、f(x)a}liminfE{x

24、f(x)a}liminfE{x

25、f(x)a}nnk1nkk1nk1证明：xE{x

26、f(x)a},kN，即f(x)aa，且xEk1因为limf(x)f(x)，nN，使mn，有f(x)a，故nnnk11xE{x

27、f(x)a}(mn)，所以xE{x

28、f(x)a}mmkmnk11xE{x

29、f(x)a}=liminfE{x

30、f(x)a}，由k的任

31、意性：mmnNmnknk11xliminfE{x

32、f(x)a}，反过来，对于xlimi