《实变函数论与泛函分析(曹广福)》1到5章课后习题答案

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1、第一章习题参考解答第一章习题参考解答3.等式(A-B)ÈC=A-(B-C)成立的的充要条件是什么？解：若(A-B)ÈC=A-(B-C)，则CÌ(A-B)ÈC=A-(B-C)ÌA.即，CÌA.反过来,假设CÌA,因为B-CÌB.所以,A-BÌA-(B-C).故,(A-B)ÈCÌA-(B-C).最后证，A-(B-C)Ì(A-B)ÈC事实上，"xÎA-(B-C),则xÎA且xÏB-C。若xÎC，则xÎ(A-B)ÈC；若xÏC，则xÏB，故xÎA-BÌ(A-B)ÈC.从而,A-(B-C)Ì(A-B)ÈC.CÌ(A-B)ÈC=A-(B-C)ÌA-Æ=A.即CÌA.反过来，若CÌ

2、A，则因为B-CÌB所以A-BÌA-(B-C)又因为CÌA，所以CÌA-(B-C)故(A-B)ÈCÌA-(B-C)45第一章习题参考解答另一方面，"xÎA-(B-C)ÞxÎA且xÏB-C，如果xÎC则xÎ(A-B)UC；45第一章习题参考解答如果xÏC,因为xÏB-C，所以xÏB故xÎA-B.则xÎ(A-B)ÈC.从而A-(B-C)Ì(A-B)ÈC45第一章习题参考解答于是，(A-B)ÈC=A-(B-C)ì1,xÎA45第一章习题参考解答3.对于集合A，定义A的特征函数为cA(x)=íî0,xÏA，假设A1,A2,L,AnL是45第一章习题参考解答45第一章

3、习题参考解答一集列，证明：（i）climinfA(x)=liminfcA(x)45第一章习题参考解答nnnn45第一章习题参考解答（i）climsupA(x)=limsupcA(x)45第一章习题参考解答nnnn证明：（i）"xÎliminfAn=È(ÇAn)，$n0ÎN，"m³n0时，xÎAm.nnÎNm³n45第一章习题参考解答所以cA(x)=1，所以infcA(x)=1故liminfcA(x)=supinfcA(x)=145第一章习题参考解答mm³n0mnnbÎNm³nm45第一章习题参考解答"xÏliminfAnÞ"nÎN，有xÏÇAnÞ$kn³n4

4、5第一章习题参考解答nm³n有xÏAkÞcA=0ÞinfcA(x)=0，故supnficA(x)=0，即limnficA(x)=0，45第一章习题参考解答mknm³nmbÎNm³nmnn45第一章习题参考解答从而climinfA(x)=liminfcA(x)45第一章习题参考解答nnnni-145第一章习题参考解答=3.设{An}为集列，B1=A1，Bi=Ai-ÈAj(i>1)证明j1（i）{Bn}互相正交nn（ii）"nÎN,UAi=UBi45第一章习题参考解答i=1i=1n-145第一章习题参考解答U证明：（i）"n,mÎN,n¹m；不妨设n>m，

5、因为Bn=An-AiÌAn-Am，又因i=145第一章习题参考解答mm为BÌA，所以BÌA-AÌA-B，故BIB=Æ，从而{B}¥相互正交.45第一章习题参考解答nnmnmnmnn=1nnnn（ii）因为"i(1£i£n)，有BiÌAi，所以ÈBiÌÈAi，现在来证：ÈAiÌÈBi45第一章习题参考解答当n=1时，A1=B1；i=1i=1i=1i=145第一章习题参考解答nn当n³1时，有：UAi=UBii=1i=1n+1nn+1nnn则UAi=(UAi)UAn+1=(UAi)U(An+1-UAi)=(UBi)U(Bn+1-UBi)45第一章习题参

6、考解答i=1i=1i=1i=1i=1i=145第一章习题参考解答ii{}0in事实上，"xÎÈA，则$i(1£i£n)使得xÎA，令i=mini

7、xÎA且1£i£ni=1i0-1ni0-1nn则xÎAi0-UAi=Bi0ÌUBi，其中，当i0=1时，UAi=Æ，从而，UAi=UBi45第一章习题参考解答i=1i=1i=1i=1i=145第一章习题参考解答4.设f(x)是定义于E上的实函数，a为常数，证明：1¥（i）E{x

8、f(x)>a}=U{f(x)³a+}n=1n45第一章习题参考解答(ii)¥1E{x

9、f(x)³a}=I{f(x)>a-}45第

10、一章习题参考解答n=1n证明：（i）"xÎE{x

11、f(x)>a}ÞxÎE且f(x)>aÞ$nÎN,使得f(x)³a+1>a且xÎEÞxÎE{x

12、f(x)³a+1}45第一章习题参考解答ÞxÎn1¥UE{x

13、f(x)³a+}ÞE{x

14、f(x)>a}Ìn1¥UE{x

15、f(x)³a+}45第一章习题参考解答n=1nn=1n45第一章习题参考解答反过来，"xÎ¥E{x{x

16、f(x)³a+1},$nÎNxÎE{x

17、f(x)³a+1}45第一章习题参考解答U，使n=1nn45第一章习题参考解答即f(x)³a+1n¥>a且xÎE1故xÎE{x

18、f(x)>