介绍一组优美的圆锥曲线焦半径公式_吴文尧.pdf

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1、１４数学通讯———２０１２年第３期（上半月）·辅教导学·介绍一组优美的圆锥曲线焦半径公式吴文尧（浙江省宁波市北仑中学吴文尧工作室，３１５８００）２我们通常把圆锥曲线上的点Ｐ与圆锥曲线的ｂＡＢ＝ＡＦ＋ＦＢ＝＋焦点Ｆ的连线段ＰＦ称为圆锥曲线过点Ｐ的焦半ａ－ｃ·ｃｏｓα２２径．在解答有关圆锥曲线涉及焦点的问题时，经常ｂ＝２ａｂ．２２２ａ＋ｃ·ｃｏｓαａ－ｃｃｏｓα需要计算焦半径的长，且“工程量”往往较大；如何２π２ｂ简化其计算过程，缩短解题长度是大家共同的心当α＝时，ＡＢｍｉｎ＝（椭圆的通径的２ａ愿．本文介绍一组优美的求圆锥曲线焦半径的计长）；当α＝０时，ＡＢｍａｘ＝２ａ（椭圆的长轴的算公式，供

2、大家参考．长）．一、公式介绍（３）ｅ＞１时，曲线为双曲线，其极坐标方程为众所周知，在极坐标系中圆锥曲线的极坐标２ｂρ＝．ｅｐａ－ｃｃｏｓθ方程为ρ＝，其中ｅ为圆锥曲线的离心１－ｅｃｏｓθ２２ｘｙ率，ｐ为焦点Ｆ到相应准线ｌ的距离，事实上，其中设ＡＢ是双曲线２－２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）过ａｂ的ρ即为圆锥曲线的焦半径，即其极坐标方程也焦点Ｆ（左或右焦点）的弦，直线ＡＢ与ｘ轴的夹角可以看成是圆锥曲线统一的焦半径公式，但在具π为α（０≤α≤），且ＡＦ≥ＢＦ．体的使用过程中，这个公式不是很便捷，下面利用２（１）Ａ，Ｂ两点同在双曲线的左支（或同在双曲圆锥曲线的性质对这个公式进行“再加工”．（１）ｅ＝１时

3、，曲线为抛物线．线的右支）时，２２设ＡＢ是过抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点ＦｂｂＡＦ＝，ＢＦ＝．ａ－ｃｃｏｓαａ＋ｃｃｏｓα的弦（点Ａ在ｘ轴上方），直线ＡＢ的倾斜角为α，则２ｂｐＡＢ＝ＡＦ＋ＦＢ＝＋ＡＦ＝，ＢＦ＝ｐ，所以ａ－ｃ·ｃｏｓα１－ｃｏｓα１＋ｃｏｓα２２ｂ２ａｂＡＢ＝ＡＦ＋ＦＢ＝２２２．ａ＋ｃ·ｃｏｓαａ－ｃｃｏｓαｐｐ２ｐ２＝＋＝２．当α＝π时，ＡＢ２ｂ（双曲线的通径的１－ｃｏｓα１＋ｃｏｓαｓｉｎαｍｉｎ＝２ａ当α＝π时，ＡＢｍｉｎ＝２ｐ（抛物线的通径的长）．２（２）Ａ，Ｂ两点不同在双曲线的左支（也不同在长）．右支）时，（２）０＜ｅ＜１时，曲线为椭圆，其极坐标方程２２ｂ２

4、ＡＦ＝－ｂ，ＢＦ＝ｂ．为ρ＝．ａ－ｃｃｏｓαａ＋ｃｃｏｓαａ－ｃｃｏｓθ２２２－ｂ设ＡＢ是椭圆ｘ＋ｙ＝１（ａ＞ｂ＞０）过焦点ＡＢ＝ＡＦ－ＦＢ＝ａ－ｃ·ｃｏｓα－２２ａｂ２２ｂ２ａｂＦ（左或右焦点）的弦，＝２２２．ａ＋ｃ·ｃｏｓαｃｃｏｓα－ａ直线ＡＢ与ｘ轴的夹角为α（０≤α≤π），若当α＝０时，ＡＢ（双曲线的实轴的ｍｉｎ＝２ａ２长）．ＡＦ≥ＢＦ，则２２二、公式的应用ｂｂＡＦ＝，ＢＦ＝，ａ－ｃｃｏｓαａ＋ｃｃｏｓα１．用于求焦点弦所在直线的斜率·辅教导学·数学通讯———２０１２年第３期（上半月）１５由于前面给出的焦半径公式都与直线的倾斜合，所以也容易得到高考命题组专家的青睐，这类角相关联，因

5、此在求焦点弦所在的直线的斜率时，问题与焦半径直接相关联，所以对于这类试题，运可运用焦半径公式及题设条件得到一个关于直线用这组焦半径公式解之可谓“专业对口”．倾斜角的方程，然后求出其倾斜角的某一三角函２．用于求圆锥曲线的离心率数值，进而求出其斜率．对于第一类问题的逆向问题，即已知圆锥曲例１（２０１０年高考全国（２）数学理科第１２线的某一焦点弦所在直线的斜率及焦点分过焦点的弦所成的比，求曲线的离心率；运用焦半径公式３题）已知椭圆的离心率为槡，过右焦点Ｆ且斜率为２很容易建立一个关于ａ，ｂ，ｃ的方程，然后求其离心→ｋ（ｋ＞０）的直线与Ｃ相交于Ａ、Ｂ两点．若ＡＦ＝率．→３ＦＢ，则ｋ＝（）例３

6、（２０１０年高考辽宁省数学理科试卷第２２（Ａ）１．（Ｂ）槡２．（Ｃ）槡３．（Ｄ）２．ｘｙ２０题）设椭圆Ｃ：２＋２＝１（ａ＞ｂ＞０）的左焦ａｂ解答设直线ＡＢ的倾斜角为α，则ＡＦ＝点为Ｆ，过点Ｆ的直线与椭圆Ｃ相交于Ａ，Ｂ两点，２２ｂ，ＢＦ＝ｂ，由ＡＦ→＝３ＦＢ→可得→→ａ－ｃｃｏｓαａ＋ｃｃｏｓα直线ｌ的倾斜角为６０°，ＡＦ＝２ＦＢ．２２（１）求椭圆Ｃ的离心率；ｂ３ｂａ１１＝，即ｃｏｓα＝＝＝，ａ－ｃｃｏｓαａ＋ｃｃｏｓα２ｃ２ｅ槡３（２）如果｜ＡＢ｜＝１５，求椭圆Ｃ的方程．４所以ｋ＝ｔａｎα＝槡２，故选（Ｂ）．解答（１）设椭圆的焦距为２ｃ，则ＡＦ＝评注本题的常规解法通常是写出

7、直线ＡＢ２２的方程，然后把直线方程代入椭圆的方程，再运用ｂ，ＢＦ＝ｂ，由ＡＦ→＝２ＦＢ→ａ－ｃｃｏｓ６０°ａ＋ｃｃｏｓ６０°→→韦达定理，把条件ＡＦ＝３ＦＢ翻译成关于ｋ的方ｂ２２ｂ２可得＝，即ａ＝３ｃｃｏｓ６０°程，从而得到结论，其运算量显然较大；若利用椭ａ－ｃｃｏｓ６０°ａ＋ｃｃｏｓ６０°圆的定义解之，则对数学能力的要求较高．而本解３ｃ２＝ｃ，故ｅ＝＝．２ａ３法容易操作且运算简单．例２（２０１１年高考浙