静电场中的镜像法与分离变量法.doc

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1、静电场中的镜像法与分离变量法摘要：静电场的基本问题是求解给定边界条件下的泊松方程或拉普拉斯方程的解，本文分别阐述在求解区域有和没有自由电荷分布的情况下，应用镜像法和分离变量法求解；同时，举例来演示应用镜像法和分离变量法的解题思路、步骤和结果讨论以及一些注意点，并在相同情况下分别应用镜像法和分离变量法进行对比讨论；深入理解镜像法和分离变量法及其特征。关键词：静电场、镜像法、分离变量法。TheMethodofMirrorImageandtheSeparateVariationalMethodintheElectrostaticFieldAbstract:Thebasicproblemo

2、felectrostaticfieldistoexplorethesolutionofPoissonequationorLaplaceequationunderitsgivenboundarycondition.Thisarticlerespectivelyexplainstheapproachestoexplorethesolutionusingmirrorimageandseparatevariationalmethodsundertheto-be-exploresolutionareasituationwhichhasandwhichlacksfreedomelectricc

3、hargedistribution.Meanwhile,ittakessomeinstancestodemonstratetheproblem-solvingthoughtsandstepsapplyingmirrorimageandseparatevariationalmethods.Italsoprovidessomediscussionsabouttheresultandthepointsneedingtobenotedintheprocessofthisdemonstration.Thiswriteralsotriestohelpthereaderstodeeplyunde

4、rstandthemethodsofmirrorimageandseparatevariationalmethodsandtheircharacteristicsbydoingcontrastdiscussionunderthesamecondition.Keywords:theelectrostaticfield,themethodofmirrorimage,theseparatevariationalmethod.1、引言：静电场和电源外恒定电场的边值问题的求解，可归纳为在给定边界条件下，对拉普拉斯方程或泊松方程的求解。很多文章已经就界面形状是比较简单的几何曲面的这类问题给出了

5、解析形式的求解，这种解析形式求解的常用方法分别是镜像法和分离变量法。本文在应用此方法求解边值问题的探讨基础上，进一步地就镜像法和分离变量法的应用进行对比和讨论。2、静电场中的静像法与分离变量法的介绍i)、镜像法拉普拉斯方程仅适用于求解区域没有自由电荷分布。若求解区域有自由电荷分布，则必须求解泊松方程；一种重要的特殊情形是区域只有一个或几个点电荷，区域边界是导体或介质界面。下面介绍解这类问题的一种特殊方法――镜像法，镜像法也是电动力学中一种很重要的方法。在区域特殊情形下，许多复杂的问题使用该方法求解都会很简洁方便。镜像法的基本思想：如果在原电荷产生的电场中存在着导体或介质分界面，则由

6、于静电感应或极化作用，在导体和介质分界面上将出现感应或极化电荷，在我们研究的区域之外，用一些假想的电荷来代替场问题的边界，如果这些电荷和场区域原有的电荷一起产生的电场满足原问题的边界条件；那么，它们的电位叠加起来，便得到我们所要求的电位解，这种方法就称为镜像法，假想电荷就是镜像电荷。ii)、分离变量法静电学的基本问题就是求给定边界条件下的泊松方程的解；如果在所研究的区域，没有自由电荷分布，即：ρ(x)=0因而泊松方程变成：y2Ñ=0(拉普拉斯方程)那么区域的场分布是通过区域边界条件反映出来的,该类问题有一种非常重要的解析方法——分离变量法。分离变量法是数理方程中应用最广泛的一种方法

7、，是解拉普拉斯方程的最基本的方法。它首先要求给定边界与一个适当坐标系面相结合，或者至少分段地与坐标面相结合；其次在坐标系中待求偏微分方程的解可表示为几个函数的乘积，其中每个函数分别仅是一个坐标的函数，这样通过分离变量将微分方程化为常微分方程求解。并以给定的边界条件确定其中待定常数和函数，最终得到电位函数解。用分离变量法求y2Ñ=0要根据边界的形状选择适当的坐标系。1)、直角坐标系中分离变量：电位函数的拉普拉斯方程为这在电位函数y只是x和y的函数，沿z方向没有变化的二维