分离变量法很好的例题

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1、例4．细杆的热传导问题长为的均匀细杆，设与细杆线垂直截面上各点的温度相等，侧面绝热，端绝热，端热量自由散发到周围介质中，介质温度恒为0，初始温度为求此杆的温度分布。解：定解问题为设且得本征问题由及齐次边界条件，有当或时,当时,由得由得故即ry图1由图1看出，函数方程有成对的无穷多个实根故本征值为：令有函数方程对应的本征函数的方程：解为故可以证明函数系在上正交由初始条件得将展成以为基底的付氏级数，确定例5.在带电的云跟大地之间的匀强静电场(设其强度为,方向为竖直的)，水平架设一输电线，讨论输电线(导体圆柱体)对匀强电场的影响。图2++带电的云++

2、+yx解:设输电线圆柱半径为a，取垂直于圆柱体的平面为xy平面,(x,y)点处电势用u(x,y)表示。柱体外空间无电荷，电势满足二维Laplace方程亦即无限远处静电场保持匀强，且由于x轴平行于故在无限远处，即因此u(x,y)满足的定解问题为：采用平面极坐标。令由于不能分解，故不能直接用分离变量法。令则则取参数由平面极坐标下极角周期性，应有即亦即—自然周期条件则本征值问题由解得结合自然周期条件，可求得本征值和本征函数的方程－欧拉型常微分方程作代换，方程化为其解为分离变量形式解所以由边界条件由此即再由条件由于大时，和远远小于项，当时，因而得从而最

3、后得柱外的静电势为：式中三项有明显的物理意义：—均匀带电圆柱体周围的静电场和的电势;—原来的匀强静电场中的电势分布;该项。—圆柱邻近对匀强电场的修正,时,例6．钢锭传热问题。轧制钢材之前，须将钢锭加热到适当温度，使其硬度降低，宜于轧制，该过程既费时，又费燃料，为了节约，须研究钢锭的最佳在炉时间。该问题可简化为求表面温度为零度、初始温度已知的长方体的热传导问题：为待定常数，再设代入，得：令设其解，且得为待定常数由边界条件得三个本征值问题其本征值和本征函数分别为所以关于的方程解得则满足方程和边界条件的解由初值条件例7梁的横振动梁发生振动时，两端固定

4、，且端点的扰矩为零，初始位移和初始速度分别为解定解问题为设，且，代入方程得：为参数本征值问题：当或时,时其中A,B,C,D为任意常数，由边界条件得解之有A=B=C=0本征值和本征函数关于T的方程，所以有解将初值条件代入，比较系数得：