分离常数法与分离变量法在数学解题中的应用.doc

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1、分离常数法与分离变量法在数学解题中的应用1.分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有，，，等。解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数。2.分离常数法的常考题型：（1）判断分式函数的单调性；（2）求分式函数的值域；3.分离变量法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离变量，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围，这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决。分离变量法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到。解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值

2、或值域问题。4.分离变量法的常考题型：（1）函数零点问题；（2）函数单调性问题；（3）不等式恒成立问题；（4）不等式有解问题；（5）求定点、定直线问题；5.函数的“存在性”问题和“任意性”问题（共十类）：（1）相同函数，不同变量（分别考虑）：(I)对任意，成立；（2）不同函数，相同变量（构造函数）：(I)对任意，成立；(II)存在，使成立存在，；（3）不同函数，相等关系（函数值域之间的关系）：(I)存在，使成立存在，有零点；(II)对任意，存在，使成立值域值域；(III)存在，，使成立值域值域；（4）不同函数，不同变量（函数最值大小的比较）：(I)对任意，成立；(II)存

3、在，使得任意时，成立；(III)存在，，使成立；(IV)对任意，存在，使成立；总结：（1）把不等关系转化为函数最值大小的比较；（2）把等量关系转化为函数值域之间的关系；例1.若函数在区间（﹣∞，4）上是增函数，则有（　）A.a＞b≥4B.a≥4＞bC.4≤a＜bD.a≤4＜b例2.求函数的值域。例3.已知函数在上有零点，则实数的取值范围为_____________例4.已知在上是单调递增函数，则实数的取值范围为__________例5.设函数，，若对任意的∈[0，4]，总存在∈[1，4]，使成立，则实数的取值范围是_____________例6.若关于的不等式的解集不是空

4、集，则实数的取值范围为______例7.已知圆C：，直线：求直线被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长。变式训练：1.函数的值域是_____________2.已知，则的取值范围为_____________3.已知f(t)＝log2t，t∈[，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立，则x的取值范围为__________4.已知函数的值域是[－1，4]，则的值是______________5.已知，则函数的值域是______________6.已知函数，且恒成立，则的取值范围为___________7.已知a＞0，b＞0，若不等式－－

5、≤0恒成立，则m的取值范围为___________8.若不等式x2－ax＋1≥0对于一切a∈[－2，2]恒成立，则x的取值范围是________9.已知直线：，，则直线恒过定点的坐标为________10.（2017江苏）已知αR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则α的取值范围是___________11.函数，若在∈上恒成立，则实数的取值范围为_________12.（2016长宁区一模）如果对于一切实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________13.（2016虹口区一模）当实数、满足时，的取值与、均无关，则实数的取值范围为__________14.（

6、2016奉贤区一模）设，若对任意，都有，则__________15.已知函数（为实常数）.（1）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围；（2）设，若不等式在有解，求的取值范围。