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《2019_2020学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.3直线与平面的夹角课件新人教B版选修2_1.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2.3 直线与平面的夹角【自我预习】1.直线与平面所成的角2.最小角定理(1)线线角、线面角的关系式:如图,AB⊥α,则图中θ,θ1,θ2之间的关系是________________________.cosθ=cosθ1·cosθ2(2)最小角定理:斜线和它在平面内的_____所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中_________.射影最小的角【思考】思考下列问题:(1)直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗?提示:不是.直线与平面的夹角为(2)直线与平面的夹角不是锐角就是直角吗?提示:不对.
2、角的度数有可能是零.【自我总结】直线的方向向量与平面的法向量的夹角和直线与平面的夹角的关系设直线l的方向向量为s,平面α的法向量为n,直线l与平面α的夹角为θ.(1)当l∥α或l⊂α时,=所以θ=0.(2)当l⊥α时,显然=0或π,所以θ=(3)当l与α斜交时,有如下情形:①当s,n与l,α的关系如图所示时,θ=-,所以sinθ=cos.②当s,n与l,α的关系如图所示时,θ=-所以sinθ=-cos.综上,sinθ=
3、cos
4、.【自我检测】1.思维辨析(对的打
5、“√”,错的打“×”)(1)两条异面直线所成的角的余弦值一定是非负值.()(2)直线与平面所成角的范围是()(3)直线与平面所成的角就是直线的方向向量与平面的法向量所成的角.()提示:(1)√.两条异面直线所成的角的范围是其余弦值非负.(2)×.直线与平面所成角的范围是(3)×.直线与平面所成的角的余角等于直线的方向向量与平面的法向量所成的角或其补角.2.已知平面α内的角∠APB=60°,射线PC与PA,PB所成的角均为45°,则PC与平面α所成角的余弦值是()【解析】选B.由三角余弦公式知所以cosθ=即PC与平面α所成角的余弦
6、值为3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中直线AC1与平面ABCD的夹角的正切值为__________.【解析】由直线和平面的夹角的定义知∠C1AC即为直线AC1与平面ABCD的夹角,所以tan∠C1AC=答案:类型一 用向量法解决直线与平面所成的角问题【典例】1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sinα的取值范围是()2.如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点,在五棱锥P-ABCDE中,F为棱PE的中点,平面AB
7、F与棱PD,PC分别交于点G,H.(1)求证:AB∥FG.(2)若PA⊥底面ABCDE,且AF⊥PE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.【解题探究】1.典例1中角α与角有什么关系(其中n是平面A1BD的法向量)?提示:sinα=
8、cos
9、.2.典例2(1)中要证AB∥FG需先证什么?(2)中如何建立空间直角坐标系?求直线BC与平面ABF所成角的步骤是什么?如何确定点P,F,H的坐标?提示:要证AB∥FG要先证AB∥平面PDE,再用线面平行的性质证明AB∥FG.以点A为原点,的方向分别为x轴,y轴
10、,z轴的正方向建系.求线面角时先求直线BC的方向向量和平面ABF的法向量,再依据公式求解.依据AF⊥PE,F为PE的中点求AP的长,得点P,F的坐标.依据与共线和与平面ABF的法向量垂直求点H的坐标.【解析】1.选B.设棱长为1,分别以为x,y,z轴正方向建立坐标系,设P(0,0,m),m∈[0,1],则OB(0,1,0),D(1,0,0),A1(1,1,1),所以=(1,-1,0),=(0,1,1),m∈[0,1].设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),解得一个法向量n=(1,1,-1),所以sinα=
11、cos
12、=
13、2.(1)在正方形中,因为B是AM的中点,所以AB∥DE.又因为AB⊄平面PDE,所以AB∥平面PDE,因为AB⊂平面ABF,且平面ABF∩平面PDE=FG,所以AB∥FG.(2)因为PA⊥底面ABCDE,所以PA⊥AB,PA⊥AE.因为AF⊥PE,F为棱PE的中点,所以AP=AE=2,如图建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),=(1,1,0).设平面ABF的法向量为n=(x,y,z),则令z=1,则y=-1.所以n=(0,-1,1),设直线BC与
14、平面ABF所成角为α,则sinα=
15、cos
16、=因此直线BC与平面ABF所成角的大小为设点H的坐标为(u,v,w).因为点H在棱PC上,所以可设=λ(0<λ<1),即(u,v,w-2)=λ(2,1,-2).所以u=2λ,v=λ,w=2-2λ.
