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《2019_2020学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2平面的法向量与平面的向量表示课件新人教B版选修2_1.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2.2平面的法向量与平面的向量表示【自我预习】1.平面的法向量及其应用(1)平面的法向量:如果向量n的基线与平面α_____,则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交.垂直(2)平面的向量表示式:设A是空间任一点,n为空间内任一非零向量,用_________表述通过空间内一点并且与一个向量垂直的平面,这个式子通常称为一个平面的向量表示式.(3)两个平面平行或垂直的判断:设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β或α与β重合⇔______;α⊥β⇔______⇔________.n1∥n2n1⊥n2n1·n2=02.斜线的相关概念:如果一条直线AB和平面α___
2、________,但不和α_____,那么直线AB叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点B叫做_____,斜线上一点A与______之间的线段叫做斜线段AB.相交于点B垂直斜足斜足B3.三垂线定理及其逆定理(1)射影:①已知平面α和一点A,过点A作α的_____l与平面α相交于点A′,则A′就是点A在平面α内的________,简称射影.②图形F上_________在平面α内的_____所成的集合F′,叫做图形F在平面α内的射影.垂线正射影所有的点射影(2)三垂线定理:如果在平面内的_________与平面的一条斜线在这个平面内的_________,则它也和这条斜线垂直.(3)
3、三垂线定理的逆定理:如果平面内的_________和这个平面的_____________,则它也和这条斜线在平面内的射影垂直.一条直线射影垂直一条直线一条斜线垂直【思考】思考下列问题:(1)已知直线l垂直于平面α,向量a与直线l平行,则a是平面α的一个法向量吗?提示:不一定.当a=0时,也满足a∥l,尽管l垂直于平面α,a也不是平面α的法向量.(2)若直线l是平面α外的一条直线;直线m垂直于l在平面α内的投影,则l与m垂直吗?提示:不一定.若直线m在平面α外,例如m⊥α,尽管m垂直于直线l在平面α内的投影,也不能得出m⊥l的结论.【自我总结】1.平面的法向量的特点设向量n是平
4、面α的一个法向量.则:(1)n是一个非零向量.(2)向量n与平面α垂直.(3)平面α的法向量有无数多个,它们都与向量n平行,方向相同或相反.(4)给定空间中任意一点A和非零向量n,可确定唯一一个过点A且垂直于向量n的平面.2.空间垂直关系的向量表示设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),平面α,β的法向量分别为u=(u1,u2,u3),v=(v1,v2,v3),则位置关系向量关系向量运算关系坐标关系l⊥ma⊥ba·b=0a1b1+a2b2+a3b3=0l⊥αa∥ua=λu,λ∈Ra1=λu1,a2=λu2,a3=λu3α⊥βu⊥vu·v
5、=0u1v1+u2v2+u3v3=03.对三垂线定理的三点说明(1)三垂线定理叙述的是平面内直线a与平面的斜线b,及斜线b在平面内的投影c三者之间的垂直关系.(2)这里a与b可以相交,可以异面.(3)三垂线定理是判断或证明空间中线线垂直的主要依据,三垂线定理跨越了线面垂直,直接由线线垂直到线线垂直,为解决线线垂直提供了一条捷径.【自我检测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)两直线垂直的充要条件是两直线的方向向量垂直.()(2)直线与平面垂直的充要条件是直线的方向向量与平面的法向量平行.()(3)两平面垂直的充要条件是两平面的法向量垂直.()提示:(1)√.根据直
6、线的方向向量和线线垂直的定义,该判断正确.(2)√.根据直线的方向向量与平面的法向量的定义和线面垂直的定义,该判断正确.(3)√.根据平面的法向量的定义和面面垂直的定义,该判断正确.2.若平面α,β垂直,则下面可以作为这两个平面的法向量的是()A.n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1)B.n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1)C.n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1)D.n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2)【解析】选A.若平面α,β垂直,则这两个平面的法向量垂直.经检验,只有选项A中n1·n2=(1,2,1)·(-3,1,1)=1×(-3)+2×1
7、+1×1=0.3.若直线l的方向向量为a=(2,0,1),平面α的法向量为n=(-4,0,-2),则直线l与平面α的位置关系为()A.l与α斜交B.l⊂αC.l∥αD.l⊥α【解析】选D.因为a=(2,0,1),n=(-4,0,-2).所以n=-2a,故n∥a.即直线l的方向向量与平面α的法向量平行,故l⊥α.4.空间两平面α,β的法向量分别是u=(1,0,1),v=(0,2,0),则平面α,β的位置关系为.【解析】由题意得u·v=0,故u⊥v,所以α⊥β.答案:垂直类型一 利用向量法处理线面垂直问题【
