资源描述：
《高中数学3.2.2平面的法向量与平面的向量表示学案新人教b版选修2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．(重点)2．会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直．(重点)3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 平面的法向量与向量表示阅读教材P102～P103“例1”，完成下列问题．1．平面的法向量已知平面α，如果向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．2．平面的向量表示设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，适合条件·n＝0的点M的集合构成的图形是过空间内一点A并且与n垂直的平面．这个式子称
2、为一个平面的向量表示式．3．两平面平行、垂直的判定设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则(1)α∥β或α与β重合⇔n1∥n2；(2)α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.1．若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( )A．l∥α B．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交【解析】 ∵n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.【答案】 B2．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2,0)，则α与β的位置关系是( )A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定
3、【解析】 ∵a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.【答案】 B教材整理2 三垂线定理及其逆定理阅读教材P104第5行～P105第2行内容，完成下列问题．1．正射影已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l与α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的正射影，简称射影．2．三垂线定理如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射线垂直，则它也和这条斜线垂直．3．三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a是平面α的一条斜线，直线b垂直于a在α内的
4、射影，则a⊥b.( )(2)若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b.( )(3)若a是平面α的斜线，直线b⊂α，且b垂直于a在另一个平面β内的射影，则a⊥b.( )(4)若a是平面α的斜线，b∥α，直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b.( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________
5、________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组
6、合作型]利用平面法向量证明平行关系 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.【精彩点拨】 建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解．【自主解答】 (1)建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)．设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥，n1⊥，即得令z
7、1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1.又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.(2)∵＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量．由n2⊥，n2⊥，得得令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.用向量方法证明空间平行关系的方法线线平行设直线l1，l2的方向向量分别是a，b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a＝kb(k∈R)．线面平行(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明
8、a⊥u，即a·u＝0.(2)根据线面平行判定定理在平面内找一个向量
