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《2019_2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.3直线与平面的夹角学案新人教B版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3．2.3 直线与平面的夹角学习目标核心素养1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角．(重点、难点) 通过空间线面角提升学生的数学运算、逻辑推理素养.1．直线和平面所成的角思考：直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？[提示] 不是．直线和平面的夹角为.2．最小角定理1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )A．120° B．60°C．30°D．以上均错C [设直线l与平面α所成的角为
2、θ，则sinθ＝
3、cos120°
4、＝，又∵0<θ≤90°，∴θ＝30°.]2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为( )A．30° B．60° C．120° D．150°A [由cos〈m，n〉＝－，得〈m，n〉＝120°，∴直线l与平面α所成的角为
5、90°－120°
6、＝30°.]3．如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为( )A.B.C.D.B [以D为原点，，，的
7、方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，E，所以＝(1,1,0)，＝，易得平面BDE的法向量n＝(1，－1,2)，而＝(0，－1,1)，∴cos〈n，〉＝＝，∴〈n，〉＝.∴直线A1B与平面BDE所成角为＝.]用向量求直线与平面所成的角【例1】 已知三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别是PB，BC的中点．(1)证明：CM⊥SN；(2)求SN与平面CMN所成的角的大小．[思路探究
8、] 建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标，向量的坐标，计算，的数量积，证明(1)；求出平面CMN的法向量，求线面角的余弦，求得线面角．[解] 如图，设PA＝1，以A为原点，直线AB，AC，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M，N，S.(1)证明：＝，＝，因为·＝－＋＋0＝0，所以CM⊥SN.(2)＝，设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量．由a·＝0，a·＝0，得令x＝2，得a＝(2,1，－2)，∵
9、cos〈a，〉
10、＝＝，∴SN与平面CMN所成角为4
11、5°.用向量法求线面角的步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量；(3)求平面的法向量n；(4)计算：设线面角为θ，则sinθ＝.1．如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m，试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.[解] 建立如图所示的空间直角坐标系．则A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，所以＝(－1，－1,0)，＝(0,0,1)，＝(－1,1，m
12、)，＝(－1,1,0)，又由·＝0，·＝0，知为平面BB1D1D的一个法向量，设AP与平面BB1D1D所成的角为θ.则sinθ＝＝＝.cosθ＝＝，依题意＝3，解得m＝，故当m＝时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.用定义法解决直线与平面的夹角问题[探究问题]1．用定义法求直线与平面夹角的关键是什么？[提示] 寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的投影．2．定义法求直线与平面夹角的基本思路是什么？[提示] ①若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为0；②若直线与平面垂直，则直线与平面的夹
13、角为；③若直线与平面相交但不垂直，设直线与平面的交点为O，在直线上任取异于O点的另一点P，过P作平面的垂线PA，A为垂足，则OA即为直线在平面内的投影，∠AOP即为直线与平面的夹角，然后通过解三角形求出直线与平面夹角的大小．【例2】 如图所示，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)若D为PB的中点，试求AD与平面PAC夹角的正弦值．[思路探究] (1)证明BC和平面PAC内的两条相交直线垂直．(2)作出AD在平面PAC内的射影后，构造三
14、角形求解．[解] (1)因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.又∠BCA＝90°，所以AC⊥BC，又AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.(2)取PC的中点E，连接DE.因为D为PB的中点，所以DE∥BC，所以DE⊥平面PAC.连接AE，AD，则AE是AD在平面PAC内的投影，
