2019_2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.3直线与平面的夹角学案新人教B版选修2_1.docx

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1、3.2.3 直线与平面的夹角学习目标核心素养1.理解斜线和平面所成的角的定义,体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角.(重点、难点) 通过空间线面角提升学生的数学运算、逻辑推理素养.1.直线和平面所成的角思考:直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗?[提示] 不是.直线和平面的夹角为.2.最小角定理1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于(  )A.120°      B.60°C.30°D.以上均错C [设直线l与平面α所

2、成的角为θ,则sinθ=

3、cos120°

4、=,又∵0<θ≤90°,∴θ=30°.]2.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量,若cos〈m,n〉=-,则直线l与平面α所成的角为(  )A.30°   B.60°   C.120°   D.150°A [由cos〈m,n〉=-,得〈m,n〉=120°,∴直线l与平面α所成的角为

5、90°-120°

6、=30°.]3.如图所示,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面BDE所成的角为(  )A.B.C.D.B [以

7、D为原点,,,的方向为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系(图略),则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),E,所以=(1,1,0),=,易得平面BDE的法向量n=(1,-1,2),而=(0,-1,1),∴cos〈n,〉==,∴〈n,〉=.∴直线A1B与平面BDE所成角为=.]用向量求直线与平面所成的角【例1】 已知三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别是PB,BC的中点.(1)证明:CM⊥SN;(2)求SN与平面CMN所

8、成的角的大小.[思路探究] 建立空间直角坐标系,写出有关点的坐标,向量的坐标,计算,的数量积,证明(1);求出平面CMN的法向量,求线面角的余弦,求得线面角.[解] 如图,设PA=1,以A为原点,直线AB,AC,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M,N,S.(1)证明:=,=,因为·=-++0=0,所以CM⊥SN.(2)=,设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量.由a·=0,a·=0,得令x=2,得a=(2,1,-2),∵

9、cos〈a,〉

10、=

11、=,∴SN与平面CMN所成角为45°.用向量法求线面角的步骤(1)建立空间直角坐标系;(2)求直线的方向向量;(3)求平面的法向量n;(4)计算:设线面角为θ,则sinθ=.1.如图所示,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,P是侧棱CC1上的一点,CP=m,试确定m,使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.[解] 建立如图所示的空间直角坐标系.则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1),所以=(-1,-1,

12、0),=(0,0,1),=(-1,1,m),=(-1,1,0),又由·=0,·=0,知为平面BB1D1D的一个法向量,设AP与平面BB1D1D所成的角为θ.则sinθ===.cosθ==,依题意=3,解得m=,故当m=时,直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.用定义法解决直线与平面的夹角问题[探究问题]1.用定义法求直线与平面夹角的关键是什么?[提示] 寻找直线与平面的夹角,即准确确定直线在平面内的投影.2.定义法求直线与平面夹角的基本思路是什么?[提示] ①若直线与平面平行或直线在平面内,则直线与平面

13、的夹角为0;②若直线与平面垂直,则直线与平面的夹角为;③若直线与平面相交但不垂直,设直线与平面的交点为O,在直线上任取异于O点的另一点P,过P作平面的垂线PA,A为垂足,则OA即为直线在平面内的投影,∠AOP即为直线与平面的夹角,然后通过解三角形求出直线与平面夹角的大小.【例2】 如图所示,在三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°.(1)求证:BC⊥平面PAC;(2)若D为PB的中点,试求AD与平面PAC夹角的正弦值.[思路探究] (1)证明BC和平面PAC内的两条相

14、交直线垂直.(2)作出AD在平面PAC内的射影后,构造三角形求解.[解] (1)因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.又∠BCA=90°,所以AC⊥BC,又AC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.(2)取PC的中点E,连接DE.因为D为PB的中点,所以DE∥BC,所以DE⊥平面PAC.连接AE,AD,则AE是AD在平面PAC内的投影,

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