巧用线段之和证明几何题.doc

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1、巧用线段之和证明几何题四边形这一章中有些题目经常出现两条线段之和等于某一条线，这类证明题中往往一下子条件用不上，所以只有通过添加辅助线方法，使两条线段之和转化为另一条线段等于已知线段，然后利用等腰三角的性质或三角形全等证得结论。例1如果在梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点AD+BC=DC，求证：∠DBC=90°证明：延长DE交CB的延长线于F∵AD//BC∴∠ADE=∠F∠A=∠FBE又∵E是AB的中点∴AE=BE∴△ADE≌△FBE（AAS）∴DE=FE，AD=BF∵AD+BC=DC∴BF+BC=DC即

2、CF=DC∴△DCF是等腰三角形∵DE=FE（已证）∴CE⊥DF（等腰三角形三线合一）∴∠DEC=90°例2在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且EF=BE+DF，求证∠EAF=45°。证明：延长CB到M使得BM=DF，连结AM在正方形ABCD中∵AD=AB∠D=∠ABC=90°∴∠ABM=90°∴∠D=∠ABM∴△ABM≌△ADF（SAS）∴AF=AM∠MAB=∠DAF又∵EF=BE+DF∴EF=BE+BM即EF=EM又∵AE=AE∴△AEM≌△AEF（SSS）∴∠MAE=∠EAF又∵∠DAF+∠B

3、AF=90°∵∠DAF=∠MAB（已证）∴∠MAF=90°∴∠EAF=∠EAM=∠MAF=×90°=45°例3：在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，过O的直线交AD于E，交BC于F，OE=OF，OA+AE=OC+CF，求证：四边形ABCD是平行四边形证明：分别延长OA至G，OC至H使得AG=AE，CH=CF连结GE，FH∵OA+AE=OC+CF∴OA+AG=OC+CH即：OG=OH∵OE=OF∠EOG=∠FOH∴△OGE≌△OHF（SAS）∴EG=FH∴∠G=∠H∵AG=AE，CF=CH∴∠G=∠GEA，

4、∠H=∠CFH∴∠G=∠GEA=∠H=∠CFH∴△AGE≌△CHF（AAS）∴∠GAE=∠HCF∵∠GAE+∠EAO=∠HCF+∠OCF=180°∴∠OAE=∠OCF∴AD//BC∵OE=OF，∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF（AAS）∴OA=OC∵∠DAO=∠BCO（已证）∵∠AOD=∠BOC∴△AOD≌△COB(ASA)∴AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）