几何图形中的线段之和最短问题

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1、《几何图形中的线段之和最短问题》教学设计西安市华山中学海文【教学内容与内容分析】线段之和最短问题一直是中考的热点和难点，其核心内容是运用轴对称的性质将问题转化为“两点之间，线段最短”或“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，应用到的知识较为广泛，几乎涵盖了初中几何大部分内容。本节课作为中考专题复习课，在学生对初中数学基础知识有了一定掌握的情况下，利用分类、转化、建模的思想建立了三种常见问题的模型，并以常见几何图形为载体，综合运用轴对称性质、勾股定理、常见图形性质等进行分析计算，归纳出解决此类问题的一般方法。在教学时，重点为探究过程中数

2、学模型的建立和应用。【目标和目标解析】经历数学模型的建立、分析及应用过程，通过观察、分析、对比，掌握解决几何图形中线段之和最短问题的一般方法，并结合几何图形的性质特点及题目条件进行熟练计算。同时，在探究过程中帮助学生进一步强化分类、归纳、综合的思想，体验数学学习的乐趣和成就感，发展应用意识，提升学生分析问题、解决问题的能力。【教学问题诊断分析】在初中阶段的数学学习中，由于思维水平的发展限制，多数学生对知识的理解通常是碎片化的，缺乏将同一类问题进行系统化处理的能力，在对线段之和最短问题进行分类讨论时，需要教师逐步引导，增加难度。学生可能会根据动点和定点

3、的位置不同，画出多种模型，从而在模型筛选上耗费时间，偏离本节课重点，因此在教学时应尽量引导学生在两定一动模型的基础上进行改动，变化出新的模型，从而有效利用课堂时间。此外，为了帮助学生更好的总结方法，教学时提出了“化折为直”的思想，学生可能在具体的作法上出现问题，在教学中应强化将折线通过“翻”这一动作变为直线，而“翻”实际上是利用轴对称的性质作出对称点，这样能帮助学生更形象的理解和记忆。由于学生水平的差异，对模型的应用掌握程度不同，在教学时应注重学生的交流、讨论、展示、总结等环节，并在课后通过检测反馈发现问题，对部分同学进行适当辅导。【教学支持条件分析

4、】学生通过之前的学习已经掌握了初中阶段的基础数学知识，对简单的线段之和最短问题也在课后习题和教材补充部分中有所接触，能够较熟练地利用做对称点的方法解决将军饮马问题，这些都为本节进一步的专题学习提供认知条件。北师大版教材对重要的数学内容都是按照“问题情境—建立模型—分析应用”的叙述方式编排，学生在学习的过程中已经逐步形成了建模及应用意识，并且具备一定的观察、分析、抽象概括的能力，同时在研究具体问题时注重探索和交流。这些为本节课的学习活动奠定了经验基础。此外，根据本节课的内容和教学环节的安排，决定将多媒体课件投影在黑板上展示，一方面能清晰的有步骤的呈现模

5、型的建立过程，另一方面能方便将图形的投影和传统粉笔作图结合在一起，实现高效教学。【教学过程设计】背景引入课件显示：师：相传在古希腊时，有位将军在作战时遇到这样的问题，他想从A地去河边饮马，然后再返回B地，为了节省时间和体力，他想知道到底怎么走最短。这就是著名的将军饮马问题。请大家观察并思考能否将其抽象为一个数学模型呢？生：可以将A、B两地看作平面内的两个定点，河流看做一条直线l，饮马地点看做l上的一个动点P，那么问题就转化为了在直线l上寻找一点P使得PA+PB的距离最短。设计意图：以将军饮马的故事引入线段之和最短问题，激发学生的好奇心，增强学习趣味性

6、。根据以往的学习经验，学生能够轻易的将此实际问题转化为数学问题，在转化的过程中自然的运用的了建模思想，为下一步的学习做好准备。问题探究一课件显示：B模型一：两定一动AP师：通过对实际问题的转化，我们得到了如上的数学模型。图中的A、B、P三个点有什么特征？生：A、B为定点，P为直线l上的动点。（设计意图：通过对点的类型判断，引发学生的分类思想，为之后的不同模型提供认知基础。）师：请大家思考并讨论，也可以上台演示：（1）能在图中作出PA+PB的最短距离吗？（2）能说明其中的道理吗？生：短暂的思考后，上台演示作图方法，做点A(或B)的对称点A’,连接A’B

7、与直线l相较于点P,则此时PA+PB最短。（设计意图：通过两个简单问题帮助学生回顾两定一动情况下寻找线段之和的方法，复习对称点的做法，对用到的知识进行概括。）师：在找到最短距离后，实际上图中哪条线段就表示了PA+PB的最短距离？生：观察后回答就是A’B。教师小结：在两定一动模型中，基本做法是作其中一定点关于动点所在的直线的对称点，连接对称点和另一定点即得到线段之和的最短距离。原理是通过化折为直思想将问题转化为两点之间的距离，即得到两点之间，线段最短。（设计意图：在以往教学中发现学生解决此类问题时通常会作图不会计算，因此在作图后特别提出此问题，希望学生

8、能够通过观察找到需要计算的线段。）变式训练一课件显示：已知如图，P为线段AC上的动点，请作出以下线段之和的最