线段之和最短问题

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1、线段之和最短问题一．常见数学模型：1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。3.如图，直线l1和l2的异侧两点A、B，分别在直线l1、l2上求作一点P、Q两点，使AP+PQ+QB最小。4.如图，直线l1的同侧两点A、B，分别在直线l1上求作一点P、Q两点，且PQ=a，使AP+PQ+QB最小。115.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B使△PAB的周长最小。6.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的周长最小。

2、为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型”5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小6..如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小为方便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型”11练习题1．在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=______时，AC+BC的值最小．2．如图，护城河在CC’处直角拐弯，宽度保持为4米，从A处往B处，经过两座桥：DD’，EE’，设护城河是东西——南北方向的，A，B在东西方向上相距64米，南北方向上相距84米，

3、如何设计两座桥梁DD’，EE’的位置，使由A地经过两座桥梁后到B地的路程最短？最短路程是多少？3．如图∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．114．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。5．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；(2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小?(3)根据(2)中的

4、规律和结论，请构图求出代数式+错误！未定义书签。的最小值116．桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。7．著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路x同侧，、到直线x的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客．如果拟建的恩施到张家界高速公路y与沪渝高速公路垂直，建立如图所示的直角坐标系，到直线y的距离为，请你在x旁和y旁各修建一服务区、，使、、

5、、组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．118．如图，在锐角△ABC中，AB=，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．9．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值10．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；

6、⑶当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.11参考答案1．在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=______时，AC+BC的值最小．点C（1，n），说明点C在直线x=1上，所以作点A关于直线x=1的对称点A'，连接A'B，交直线x=1于点C，则AC+BC的值最小设直线A'B的解析式为y=kx+b，则-2=-k+b2=4k+b解得：k=(4/5)b=-(6/5)所以：y=(4/5)x-(6/5)当x=1时，y=-(2/5)故当n=-(2/5)时，AC+BC的值最小2．如图，护城河在CC’处直角拐弯，宽度保持为4米，从A处往B处，经

7、过两座桥：DD’，EE’，设护城河是东西——南北方向的，A，B在东西方向上相距64米，南北方向上相距84米，如何设计两座桥梁DD’，EE’的位置，使由A地经过两座桥梁后到B地的路程最短？最短路程是多少？如图，作BB’⊥a，AA’⊥b，且BB’=4，AA’=4，连接A’B’，交河岸于点E’，D’，分别过点E’、D’架设桥梁DD’，EE’，则ADD’E’EB是最短路线。因为四边形ADD’A’、四边形BEE’B’都是平行四边形，所以BE=B’E’，AD=A’D’