线段之和最短

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1、线段之和最小值华东师大版漳州市龙海市学校乌礁中学姓名姚丽凤内容分析1、课标要求初中生要初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，即初步的数学建模能力，增强应用意识，提高实践能力。2、教材分析：本知识点主要运用转化思想、构造思想、方程思想，数学建模思想，综合轴对称、线段的性质和三角形三边关系及常见的轴对称图形的性质，解决线段之和最短问题。教学目标：1、通过本节内容的学习，使学生掌握线段之和最短这类问题的解法，培养学生数学建模能力，提高学生综合运用数学知识的能力2、通过观察、类比、归纳、分析、概括等方法，培养学生分析问题，解决问题的能力3

2、、通过解决问题，掌握解题方法，让学生更进一步体会数学建模思想。【设计意图】1、数学来源于生活，通过创设情境，激起学生的兴趣，在具体情境中学习数学。应用轴对称变换将线段和转化为可以利用公理（定理）求最值（将军饮马问题）。2、合作交流，培养学生观察能力、分析问题、解决问题的能力，体验发现的快乐。3、透过现象看本质，设计变式练习，加深对所学知识的理解，在运用所学知识解决问题的过程中，获得成功的体验，激发学习的兴趣。重点考察学生对图形的观察能力及学生的建模能力。教学重点：透过现象，抓住本质，求线段之和最短，综合运用有关知识，解决问题。教学难点：找准本质，求线段之和最短，综合有关知识解决问题。教学方法

3、：对比、启发教学教学策略本节课按“复习回顾”——“创设情境引入”——“探究合作交流”——“巩固拓展提升”——“挑战放飞自我”——“小结感悟反思”——“链接中考”顺序展开教学过程：一、复习回顾1.轴对称的性质：2.线段的性质：两点之间3.三角形三边关系：设计意图：大部分的线段和问题都是直接利用或转化为第2点来求最值，第1和第3则是转化的依据。二、创设情境引入　问题1　相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？设计意图：数学

4、来源于生活，通过创设情境，激起学生的兴趣，在具体情境中学习数学。应用轴对称变换将线段和转化为可以利用公理（定理）求最值（将军饮马问题）三、探究、合作交流两点之间线段最短，但A、B与直线l没有交点，问题就是要在l上找一点P，使PA+PB之和最小，如果把PA、PB接成一条线段，问题就解决了。怎样才能接成线段呢？这就要用到轴对称。让学生思考思路和方法。1.学生先独立思考思路和方法，再小组合作，解决疑难，得出解题方法。要使A、B与直线l有交点，则必须A、B不在l的同一侧，那么我们如何在l的另一侧找一个点代替A点或B点呢？2.学生展示解题过程解：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，交l于点P，则

5、AP+BP=BP+A'P=A'B，把马牵到P点时，路程最短。现在证明A'B最短:连结AP,在直线上另取一点P'，连接A'P'、BP'点A、A'关于直线L对称，AP=A'PA'B=AP+PB在⊿A'BP'中，A'P'+BP'A'BA'P+BP'A'B即当A'、P、B三点在同一直线上时，AP+BP之和最短，恰好等于A'B的长。2.及时归纳解题方法和思路设计意图：小组合作交流，培养学生观察能力、分析问题、解决问题的能力，体验发现的快乐。四、巩固、拓展提升1、观察下面的轴对称图形，并求出图中线段之和最小值。（1）如图，AC是正方形ABCD的对角线，AB=4，M是边CD上的一点，DM=1，点N在AC上

6、,求DN+MN的最小值.（2）如图AB是⊙O的直径,OC⊥AB于O，P是线段CO一动点，⊙O的半径为6，D是弧AC上的一点，弧CD的长为∏求AP+PD的最小值分别说出图3、图4中P点位于什么位置时（3）PE+PC；（4）PE+PB的线段之和最短图（2）图（1）图（3）图（4）2、在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=______时，AC+BC的值最小．总结运用：定直线+同侧两点，求线段和最短问题，通过轴对称转化为两点之间线段最短问题。设计意图：透过现象看本质，设计变式练习，加深对所学知识的理解，在运用所学知识解决问题的过程中，获得成功的体验，激

7、发学习的兴趣。重点考察学生对图形的观察能力。五、挑战放飞自我1.如图，已知两条公路在O处相交，内有一燃气中转站P，拟在公路OA和OB上各建一燃气供应点点E、F，E、F应分别建造在哪个位置上，使得使用的管道材料最省。试画出图形，并说明理由。总结运用：两定直线+一定点（两定点）设计意图：，把难度向纵深推进，拓展思维的广度和深度，激起学生的学习斗志。通过实际问题的解决，使学生感受数学与生活息息相关，在生活中运用广泛