初三数学垂径定理教学设计（王比翼）.doc

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1、初三数学垂径定理教学设计王比翼（广东广州市第长兴中学　510650）一、教材分析人教版第24章《圆》是在小学学过圆的基础上，系统研究圆的概念和性质，圆中有关的角，点与圆、直线与圆、圆与正多边形之间的位置和数量关系。学生在小学学习“圆的认识”和“轴对称图形”时，已经对圆的轴对称性有了基本的认识与了解，但对对称轴及轴对称的性质应用理解不足24.1节是“圆的有关性质”，这一节包括“圆”“垂直于弦的直径”“弧、弦、圆心角”“圆周角”四小节。垂径定理及其推论是本节的重点，反应了圆的重要性质，是圆轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、垂直关系的主要

2、依据，同时为圆的计算和作图提供了方法和依据。圆是平面几何中一种基本的图形，它是一种特殊的曲线。圆的许多性质是通过与圆有关的线段（如直径、弦、切线）和角（如圆心角、圆周角）体现的，垂径定理则建立了直径、弧、弦之间的联系。但由于垂径定理及其推论的条件和结论比较复杂，容易混淆，所以这部分是本节的难点。圆有许多重要性质，其中最主要的圆的对称性（轴对称和旋转不变性），教科书在证明圆的许多性质时都运用了它的对称性。但是，因为用对称性的定义证明问题，对学生来讲比较困难，所以，一方面要重视圆的对称性；另一方面又不要求学生严格利用对称性写出证明过程。二、教学目

3、标知识与技能目标：（1）通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；（2）掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；（3）掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。过程与方法目标：（1）通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；（2）向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。情感态度和价值观：激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望，以及对学生进行数学美的教育。三、教学重点掌握垂径定理，并运用垂径定理进行简单计算或证明。四、教学过程：【环节一】直观感受圆的轴对称性（课前每人发了一张圆形的滤纸）1

4、、我们已经学习了圆怎样的对称性质？（轴对称、中心对称、旋转对称）2、圆还有什么对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？（直径所在的直线）同时进行演示实验：对折手中的圆形滤纸，发现对折后两部分重合，说明了圆的轴对称性。【环节二】证明圆是轴对称图形学生口头叙述，教师口头讲述，PPT直接展示（学生可课后阅读课本81页），不要求学生会写严格证明。要证明圆是轴对称图形，只需要证明圆是那个任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上。如图1，设是的任意一条直径，为上异于的任意一点。过点作交于点，垂足为，连接.在△中，∵,∴△是等腰三角形.又∵∴即是的

5、垂直平分线。也就是说，对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线的对称点，因此关于直线对称对称。即圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.【结论1】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.【板书1】圆的轴对称性运用教具与学具（圆形滤纸）演示，让每个学生都动手实验、观察，通过实验，引导学生得出结论：(1)圆是轴对称图形；(2)经过圆心的每一条直线（注：不能说直径）都是它的对称轴；(3)圆的对称轴有无数条。【环节三】观察并回答（根据圆是轴对称图形的证明，在图1中，把圆沿着直径折叠时，点与点重合，与重合，与重合，与重合，因此,

6、,,即直径平分弦并平分弧和）再请同学们在自己作的圆中作图：(1)任意作一条弦；(2)过圆心作的垂线得直径且交于（如图4）。引导学生分析直径与弦的垂直关系，说明是垂于弦的直径，并设问：圆除了上述三个性质外，是否还有其他性质呢？这样就很自然地导出本节课的课题，此时板书课题24.1.2垂直于弦的直径。这样通过全体学生参与实验，逐步导出新课。【板书2】24.1.2垂直于弦的直径【环节四】大胆猜想【问题1】非直径弦在怎样情况下会被直径平分？（当⊥时）（翻折验证）【问题2】当弦被直径平分时，直径两侧相邻的两条弧是否也相等？即弦所对的两条弧和是否被平分？【

7、猜想1】在圆中当直径⊥时，弦在被直径平分.【猜想2】在圆中当直径⊥时，弦所对的弧也被平分，即,.【环节五】小心求证【思考】如何证明该猜想1是真命题？（垂径定理的探索与完整证明为选学内容，此处只要求学生书写部分证明内容）【步骤1】根据命题，写出已知、求证.（垂径定理和垂径定理的逆定理的条件和结论较为复杂，此处为分清垂径定理的条件和结论做铺垫）如图5，已知是的直径，是的弦且，垂足为.求证：.【步骤2】证明：如图6，连接,∵是的半径∴∴△是等腰三角形.∵∴(等腰三角形的三线合一性质)【步骤3】猜想2的证明。在学习完24.1.3后结合步骤2的证明，结

8、论可直接得到。（不要求学生证明，也不提出此问题，直接告诉学生后面一节课后会证明）证明：如图6，连接,∵是的半径∴∴△是等腰三角形.∵∴(等腰三角形的三线合一性质)(