多元复合函数的微分法.ppt

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1、8.4多元复合函数的求导法则ChainRulesforSeveralVariables多元函数的复合情况要复杂一些大体上可以分为三类：（1）多元函数与多元函数的复合；（2）多元函数与一元函数的复合；（3）一元函数与多元函数的复合。详见《学习手册》215页，8.4.1节216页，表8.4.1多元复合函数的求导法则：链式法则TheChainRule一、多元函数与多元函数的复合链式法则多元套多元沿线相乘分线相加先串联再并联《学习手册》216页表8.4.1证由可微性偏增量下页解释其中二、多元函数与一元函数的复合全导数多元套一元沿线相乘分线相加先串联再并联全导数《学习手册

2、》216页表8.4.1三、一元函数与多元函数的复合一元套多元沿线相乘例1题2，P31解另解先复合，再求导具体的函数不妨先复合再求导例3解全导数另解先复合，再求导另解用对数求导法，直接计算例解先分解抽象函数的偏导数另解不分解例4解已经求得：注意：例4抽象复合函数的二阶偏导数（自学）注意：见《学习手册》217页,8.4.2节：多元复合函数的二阶偏导数多元复合函数的全微分全微分的形式不变性全微分的形式：x和y是自变量u和v是中间变量全微分形式不变x和y是自变量例6解变量替换问题例5设u=u(x,y),u具有二阶连续偏导数试用极坐标表示偏微分方程：分析要求将和用和表示新

3、表旧把x,y视为中间变量(1)u对新变量ρ和θ求偏导数(2)用Cramer法则解出(3)将以上二式代入原方程经过整理变成极坐标下的方程：直角坐标下的方程：另解(教材的解法）(1)由解出反函数组旧表新见注记(2)u对旧变量x,y求偏导数将新变量ρ,θ视为中间变量(3)将以上二式代入原方程经过整理例5(2)设u=u(x,y),u具有二阶连续偏导数试用极坐标表示偏微分方程：前面已经得出Laplace方程同理可得唉！终于完成了！变成极坐标下的方程：直角坐标下的方程：怎么比原方程更复杂呀？《学习指导》159页例5.16注一般说来，变换后方程应当更容易求解。有关变量代换的一

4、般论述见《学习手册》219页，8.4.4节：偏导数的变量代换