高等数学——理工版教学课件作者王德华5.1微分方程的概念.ppt

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1、第五模块微分方程5.1微分方程的概念5.2可分离变量的一阶微分方程5.3齐次微分方程5.4一阶线性微分方程5.5微分方程的简单应用举例5.6微分方程模块习题课授课说明授课班级11级机械类日期2012年3月日授课题目5.1微分方程的概念授课内容1.（常）微分方程2.微分方程的解(通解、特解)3.初始条件、初值问题教学形式多媒体讲授目的要求理解微分方程、常微分方程的概念、微分方程的阶、微分方程的解、通解、特解及微分方程的初始条件和微分方程的初值问题等概念，学会验证简单微分方程的解．重点难点微分方程的解、通解、特解微分方程的初始条件、初值问题作业布置课后作业书一、

2、案例二、知识要点三、应用5.1微分方程的概念解设这条曲线的方程为，则其中上式两端对进行积分，即，解得，将代入上式，解得。所以所求曲线方程为一、案例对（5.1.1）式两边积分，得对（5.1.2）式两边再积分，得其中C2也是任意常数．显然（5.1.3）式给出了s与t的函数关系。依题意初始位置和初始速度都为零，即将（5.1.5）式代入（5.1.2）式，可得C1=0；再将（5.1.4）式和C1=0代入（5.1.3）式，可得C2=0。于是，所求的了s与t的函数关系，即物体下落的运动方程为：分析上面的例题，可得到微分方程的一般概念：凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量

3、之间的关系的方程，叫做微分方程．注意：微分方程中可以不显含自变量和未知函数，但必须显含未知函数的导数或微分．因此，简单地说，含有未知函数的导数或微分的方程，叫做微分方程．二、知识要点未知函数是一元函数的方程，叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程．本模块只讨论常微分方程．微分方程的分类：微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶阶数，叫做微分方程的阶．二阶和二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程．一般地，n阶微分方程的形式是如果把一个函数及其导数代入微分方程后，能使微分方程成为恒等式，则称此函数为该微分方程的解．如果微分方程的解中含有任意常数，且

4、任意独立常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解；确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解．用以确定通解中任意常数的条件通常称为初始条件．求微分方程满足某初始条件的解的问题，称为微分方程的初值问题．【例题5.1.3】验证：函数是微分方程的通解．解首先，求所给函数的一阶导数和二阶导数：三、应用将及x的表达式代入所给方程，得这表明函数满足二阶微分方程因此它是所给方程的解．例如：函数就是满足初值问题的解．解首先，求所给函数的导数：且满足初始条件：所以函数是满足初值问题的解．【练习5.1.1】验证由二元方程确定的函数为微分方程的解．解首先，

5、求所给函数的导数：将上式代人方程得这表明函数是微分方程的解．【练习5.1.2】验证：函数是微分方程的解．解首先，求所给函数的导数：这表明函数是的解。又因为所以是满足初始条件满足初始条件的特解．