苏教版高数必修二第6讲：空间中的面面关系教师版——方庄李仲.docx

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1、空间中的面面关系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解掌握面面平行关系的判定和性质；理解掌握面面垂直关系判定及性质．一、平面与平面平行1.两平面互相平行的定义如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行．2.两平面平行的判定定理如果一个平面内

2、有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．推理模式：．简言之：线面平行面面平行推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．3.两个平面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．推理模式：．简言之：面面平行线线平行特别说明：平面与平面平行的其它性质（1）两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面．（2）夹在两个平行平面之间的平行线段相等．（3）经过平面外一点，有且仅有一个平面和已知平面平行．（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应

3、线段成比例．二、平面和平面垂直1．平面与平面垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α、β互相垂直，记作α⊥β.2．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．符号表示：a⊥α，a⊂β⇒α⊥β，如图：3．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面．符号表示：α⊥β，α∩β＝CD，BA⊂α，BA⊥CD，B为垂足⇒BA⊥β，如图：推论：如果两个平面

4、垂直，那么过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．类型一面面平行例1：如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F、G、H分别是AB、AC、A1B1、A1C1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.解析：运用平面平行的判定．答案：　∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1GEB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面

5、BCHG.练习1：如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面BDC1.答案：　∵ABA1B1，C1D1A1B1，∴ABC1D1.∴四边形ABC1D1为平行四边形．∴AD1∥BC1.又AD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.同理BD∥平面AB1D1.又∵BD∩BC1＝B，∴平面AB1D1∥平面BDC1.练习2：已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、CC1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1E.答案：如图，取BB1的中点G，连接EG、GC1，则

6、有EGA1B1.又A1B1C1D1，∴EGC1D1.∴四边形EGC1D1是平行四边形，∴D1EGC1.又BGC1F，∴四边形BGC1F为平行四边形，∴BF∥C1G，∴BF∥D1E.又BF⊄平面B1D1E，D1E⊂平面B1D1E，∴BF∥平面B1D1E.又BD∥B1D1，同理可得BD∥平面B1D1E.又∵BF∩BD＝B，∴由平面与平面平行的判定定理得，平面BDF∥平面B1D1E.练习3：在正方体EFGH－E1F1G1H1中，平面E1FG1与平面EGH1，平面FHG1与平面F1H1G，平面F1H1H与平面FHE1，平面E1HG1与平

7、面EH1G中互相平行的对数为(　　)A．0B．1C．2D．3答案：本题考查面面平行的判定．∵EG∥E1G1，FG1∥EH1，EG∩EH1＝E，E1G1∩FG1＝G1，∴平面EGH1∥平面E1FG1，经验证其他3对均不平行，故选B.例2：将已知：平面α∥平面β，AB、CD是夹在这两个平面之间的线段，且点E、G分别为AB、CD的中点，AB不平行于CD，如图所示．求证：EG∥α，EG∥β.解析：由平面平行的性质除法得到结论．答案：如图所示，过点A作AH∥CD，交平面β于点H，设F是AH的中点，连接HD，则AH綊CD，∴四边形ACDH为

8、平行四边形．连接EF、FG和BH，∵E、F分别是AB、AH的中点，∴EF∥BH.∵EF⊄平面β，且BH⊂平面β，∴EF∥β.又F、G分别是AH，CD的中点，且AC∥HD，∴FG∥HD.又∵FG⊄平面β，HD⊂平面β，∴FG∥β.∵EF∩FG＝F，∴平面EFG∥β