北师大版高数选修2第4讲：双曲线的标准方程与性质 教师版 ——方庄董珍珍.docx

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1、双曲线的标准方程与性质____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质．2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．3.理解数形结合的思想．1．双曲线的定义平面内动点与两个定点F1，F2(

2、F1F2

3、＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于

4、F1F2

5、

6、大于零)，则点的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．集合P＝{M

7、

8、

9、MF1

10、－

11、MF2

12、

13、＝2a}，

14、F1F2

15、＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若ac时，则集合P为空集．2．双曲线的标准方程和几何性质2222xyyx－＝1－＝12222标准方程abab(a>0，b>0)(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)ba渐近

16、线y＝±xy＝±xabc离心率e＝，e∈(1，＋∞)a线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长

17、A1A2

18、＝2a；线段B1B2叫做双实虚轴曲线的虚轴，它的长

19、B1B2

20、＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长222a，b，c的关系c＝a＋b(c＞a＞0，c＞b＞0)类型一双曲线的定义及应用2222例1：(1)已知圆C1：(x＋3)＋y＝1和圆C2：(x－3)＋y＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．【解析】利用动圆M同时与圆及圆外切,可得的轨迹为到定点,距离差为常数2的点的集合,即双曲线的左支,从而可得方程.【答案】动圆的

21、圆心为,动圆的圆心为动圆M同时与圆及圆外切,动圆M的半径,即的轨迹为到定点,距离差为常数2的点的集合,即双曲线的左支的轨迹方程为因此，本题正确答案是:练习1：已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则

22、PF1

23、＋

24、PF2

25、的值为________．【答案】2322xy练习2：设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右焦点，若

26、PF1

27、＝9，则

28、PF2

29、1620＝()A．1B．17C．1或17D．以上答案均不对【答案】B22xy练习3：已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则

30、PF

31、＋

32、P

33、A

34、412的最小值为()A．5B．5＋43C．7D．9【答案】D类型二双曲线的标准方程例2:已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(－5，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是()222222x22yxyxyA.y1B．x1C.1D.1442332【解析】∵F1(－5，0)，PF1的中点坐标为(0,2)，∴P的坐标为(5，4)．又∵双曲线的一个焦点为F1(－5，0)，∴另一个焦点为F2(5，0)．∴2a＝

35、

36、PF1

37、－

38、PF2

39、

40、＝2.∴a＝1.222又∵c＝5，∴b＝c－a＝4.2y2∴双曲线方程为x－＝1.4【答案】B2

41、2xy练习1：设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，27364)，则此双曲线的标准方程是________．【答案】根据题意可以知道椭圆的焦点在y轴上,且,故焦点坐标为由双曲线的定义可得,故,,故所求双曲线的标准方程为因此，本题正确答案是:规律方法待定系数法求双曲线方程具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方22xy程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ22ab的值即可．练习2：根据下列条件，求双曲

42、线的标准方程：5(1)虚轴长为12，离心率为；4(2)焦距为26，且经过点M(0，12)；(3)经过两点P(－3，27)和Q(－62，－7)．【答案】(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．由题意知，2b＝12，e＝＝.∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.(2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13.∴b2＝c2－a2＝25.∴双曲线的标准方程为－＝1.(3)设双曲线方程为mx