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1、§2.6函数与方程高考理数(课标专用)考点一 函数零点个数及所在区间的判断1.(2017课标Ⅲ,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( )A.-B.C.D.1A组 统一命题·课标卷题组五年高考答案C由函数f(x)有零点得x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=0有解,即(x-1)2-1+a(ex-1+e-x+1)=0有解,令t=x-1,则上式可化为t2-1+a(et+e-t)=0,即a=.令h(t)=,易得h(t)为偶函数,又由f(x)有唯一零点得函数h(t)的图象与直线y=a有唯一交点,则此交点的横坐标为0
2、,所以a==,故选C.2.(2018课标Ⅲ,15,5分)函数f(x)=cos在[0,π]的零点个数为.答案3解析本题考查函数与方程.令f(x)=0,得cos=0,解得x=+(k∈Z).当k=0时,x=;当k=1时,x=;当k=2时,x=,又x∈[0,π],所以满足要求的零点有3个.考点二 由函数零点求参数的取值范围(2018课标Ⅰ,9,5分)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是( )A.[-1,0) B.[0,+∞)C.[-1,+∞) D.[1,+∞)答案 C本题主要考查函数的零点及函数的
3、图象.g(x)=f(x)+x+a存在2个零点等价于函数f(x)=与h(x)=-x-a的图象存在2个交点,如图,当x=0时,h(0)=-a,由图可知要满足y=f(x)与y=h(x)的图象存在2个交点,需要-a≤1,即a≥-1.故选C.方法总结已知函数零点的个数求参数范围的方法已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题,需准确画出两个函数的图象,利用图象写出满足条件的参数范围.考点一 函数零点个数及所在区间的判断1.(2014北京,6,5分)已知函数f(x)=-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是( )A.(
4、0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)B组 自主命题·省(区、市)卷题组答案C易知f(x)是单调递减函数.∵f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(3)=2-log23>0,f(4)=-log24=-2<0,∴选项中包含f(x)零点的区间是(2,4).2.(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=其中集合D=,则方程f(x)-lgx=0的解的个数是.答案8解析解法一:由于f(x)∈[0,1),则只需考虑1≤x<10的情况,在此范围
5、内,x∈Q且x∉Z时,设x=,p,q∈N*,p≥2且p,q互质,若lgx∈Q,则由lgx∈[0,1),可设lgx=,m,n∈N*,m≥2且m,n互质,因此1=,则10n=,此时等号左边为整数,等号右边为非整数,矛盾.因此lgx∉Q,因此lgx不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等,只需考虑lgx与每个周期内x∉D对应的部分的交点.画出函数草图,图中交点除(1,0)外,其他交点的横坐标均为无理数,且x=1处(lgx)'==<1,则在x=1附近仅有一个交点,因此方程解的个数为8.解法二:先证明结论:1≠k-,其中p,q∈N*且p,q互质,k,n∈N*.假设1=k-,
6、则10q=.左边是整数,而右边不是整数,矛盾.则1≠k-,则原方程即f(x)-lg(x+k)=0,其中k∈N*,x∈[0,1),该方程即k=10f(x)-x.当x∈D时,该方程有唯一解x=0,此时k=1,由于函数y=10x-x在(0,1)上单调递增,因此,当x∉D时,k=2,3,4,5,6,7,8均满足该方程有唯一解.综上所述,方程的解的个数为8.考点二 由函数零点求参数的取值范围1.(2014山东,8,5分)已知函数f(x)=
7、x-2
8、+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )A.B.C.(1,2)
9、D.(2,+∞)答案Bf(x)=如图,作出y=f(x)的图象,其中A(2,1),则kOA=.要使方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点,由图可知,10、∞)答案 B①当0
