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1、§4.3三角函数的图象与性质高考理数(课标专用)考点一 三角函数的图象及其变换1.(2017课标Ⅰ,9,5分)已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin,则下面结论正确的是( )A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到
2、曲线C2A组 统一命题·课标卷题组五年高考答案D本题主要考查学生对正(余)弦型三角函数的图象与性质的掌握和对数形结合思想的运用,考查学生的逻辑推理能力及运算求解能力.利用诱导公式可知sin=cos=cos=cos,由y=cosx的图象得到y=cos2x的图象,需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变;由y=cos2x的图象得到y=cos的图象,需将y=cos2x的图象上的各点向左平移个单位长度,故选D.方法总结(1)三角函数图象变换:①伸缩变换:将y=sinx图象上的各点的横坐标变为原来的ω倍,纵坐标不变,可得到y=sin的图象;将y=sinx图象
3、上各点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变,可得到y=Asinx的图象.②平移变换:函数图象的左右平移变换遵循“左加右减”的法则,但是要注意平移量是指自变量x的变化量;函数图象的上下平移变换遵循“上加下减”的法则.(2)解决三角函数图象变换问题时,若两函数异名,则通常利用公式sinx=cos和cosx=sin将异名三角函数转化为同名三角函数,然后分析变换过程.2.(2016课标Ⅲ,14,5分)函数y=sinx-cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到.答案π解析设f(x)=sinx-cosx=2sin,g(x)=sinx+co
4、sx=2sin,将g(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x-φ)=2sin=2sin=f(x)的图象,所以x-φ+=2kπ+x+,k∈Z,此时φ=-2kπ-,k∈Z,当k=-1时,φ有最小值,为.方法指导先利用辅助角公式将两函数的解析式转化成同名三角函数式,再根据三角函数图象变换遵循的“左加右减”规律求解.考点二 三角函数的性质及其应用1.(2018课标Ⅱ,10,5分)若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是减函数,则a的最大值是( )A.B.C.D.π答案 A本题主要考查三角函数的性质.f(x)=cosx-sinx=cos,
5、由题意得a>0,故-a+<,因为f(x)=cos在[-a,a]是减函数,所以解得00,导致a的范围扩大而失分.2.(2017课标Ⅲ,6,5分)设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是( )A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在单调递减答案 D本题考查余弦函数的图象和性质.f(x)的最小正周期为2π,易知A正确;f=cos=cos3π=-1,为f(x)的最小值,故B正确;∵f(x+π)=cos=-cos,∴f=-cos=-
6、cos=0,故C正确;由于f=cos=cosπ=-1,为f(x)的最小值,故f(x)在上不单调,故D错误.3.(2016课标Ⅱ,7,5分)若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )A.x=-(k∈Z) B.x=+(k∈Z)C.x=-(k∈Z) D.x=+(k∈Z)答案 B将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度得到函数y=2sin=2sin的图象,由2x+=kπ+(k∈Z),可得x=+(k∈Z).则平移后图象的对称轴为x=+(k∈Z),故选B.思路分析先得出平移后图象对应的解析式,再利用正弦函数
7、图象的对称轴得平移后图象的对称轴.易错警示本题易犯的错误是得出平移后图象为函数y=2sin的图象.4.(2015课标Ⅰ,8,5分,0.698)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )A.,k∈Z B.,k∈ZC.,k∈Z D.,k∈Z答案D不妨令ω>0,由函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象,可得函数的周期T=2=2,由T=得ω=π,∴f(x)=cos(πx+φ),再根据函数的图象可得+φ=+2kπ,k∈Z,∴φ=+2kπ(k∈Z),∴f(x)=cos,由2kπ<πx+<2kπ+π(k∈Z),得2k-8、<2k+(k∈Z),∴f(x)的单调递
