高数多元函数复习题.ppt

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1、总复习多元函数微分学1.提示:例1求函数的定义域，并作图。例2设且求解令1.提示:0例3填空题3.提示:04.设,则则即提示:令5.设则提示:6.f(x,y)在点处偏导数存在是f(x,y)在该点连续().(A)充分条件但非必要(B)必要条件但非充分;(C)充要条件;(D)既非充分也非必要条件.D1选择题(6-8)7.设f(x,y)在点(a,b)偏导数存在,则B提示:因为只要写结果,可直接用罗必塔法则找答案原式8.提示:利用令即则原式=当m=3时当m=4时A(A)不存在;~例4证明、判断下列极限存在与否（2）（3）提示：（1）取时，有取时，有取时，有表明上式中极限均不存在。例5证明

2、：函数点连续、所以在点连续所以在点偏导数都存在偏导数存在、但不可微.例6所以在点不可微。体会二元函数的一些基本概念之间的关系1、函数可微，偏导数不一定连续；2、当和不存在时，也不能断定和不存在。这只能说明偏导数在点（0，0）处不连续。在点处四个基本概念之间的关系连续性偏导数方向导数可微性可微性条件增强由它可以推出其它三个概念，反之不一定存在。例7求下列函数的偏导数和全微分。（1）设解求可先代入部分值，再求导数。求（2）设解设求解法一:例8解法二:例9.设其中求解:例9设其中具有二阶连续偏导，求解：令例10设由方程确定,其中F可微,求解:得例11求曲线上在点A(1,1.1)处的切线

3、方程和法平面方程。解：方程组两边对x求导得将点A(1，1，1）代入切线方程法平面方程解例12依题意，两平面平行例13解：令求曲面平行于平面的各切平面方程。设为曲面上的切点，满足方程切点为切平面方程(1)切平面方程(2)例14求曲线绕y轴旋转一周生成的曲面在点上的切平面与平面的夹角。解旋转曲面在点平面上证明曲面在任意点解:令则曲面在点M的法向量为而故的法线与向量垂直.例15.设曲面的方程为求最大长方体解设长方体的一个顶点在锥面，则长方体例16在圆锥面与平面所围成的锥体内作底面与面平行的长方体，的体积。的体积：将①式乘以x与②式乘以y相比较得将代入①式并由③式得所以得唯一驻点为依题意

4、必有最大值，从而长方体的最大体积为例17.求点(1,2,0)到曲面的最短距离.解:问题为(条件)设令解得此两点到曲面的距离为故为最短.解例18例19例20.在曲面上求出一点M,使沿着点的方向导数具有最大值.解:其方向余弦为则问题为(条件)设到解得经验证为最大值.令例21设曲面方程为证明曲面上任一点处的切平面在三坐标轴上的截距之和为常数.证明:曲面在任一点处的法向量为即则在坐标轴上的截距之和为切平面方程为例22.设函数具有连续偏导数,且对任意实数t有试上任一点处的切平面交于一定点证:曲面上任一点处的切平面方程为对等式两边关于t求导,为切点,切平面方程为显然切平面都过原点(0,0,0

5、).令t=1,得证曲面谢谢观看！2020