高数多元函数微分法及其应用.ppt

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1、平面点集和区域多元函数的极限多元函数连续的概念极限运算多元连续函数的性质多元函数概念第9章多元函数微分法及其应用1高阶偏导数隐函数求导法则复合函数求导法则全微分形式的不变性多元函数的极值全微分概念偏导数概念21、区域（1）邻域连通的开集称为区域或开区域.（2）区域设是平面上的一个点,.与点的距离小于的点的全体,称为点的邻域,记为,即3（3）聚点设E是平面上的一个点集,P是平面上的一个点,如果点P的任何一个去心的邻域内总有无限多个点属于点集E,则称P为E的聚点.2、多元函数概念z=f(x,y)或z=f(P),个点,变量z按照一定的法则总有确定

2、定义设D是坐标平面上的一个点集,如果对于每的值和它对应,则称z是变量x,y的二元函数,记为43、多元函数的极限都有成立,则称A为函数f(x,y)当时的极限,记为总存在正数,使得当点时,或定义:设函数f(P)=f(x,y)的定义域为D,是其聚点.如果存在常数A,对于任意给定的正数,5说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．64、多元函数的连续性定义:为D的聚点.设二元函数f(P)=f(x,y)的定义域为D,如果函数f(x,y)在不连续,则称为函数f(x,y)的间断点.在点连

3、续.则称函数f(x,y)如果且,7在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上至少取得它的最大值和最小值各一次.在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次.（1）最大值和最小值定理（2）介值定理5、多元连续函数的性质86、偏导数概念义,当y固定在而x在处有增量时,相应地函数有增量,如果存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点处对x的偏导数,定义或设函数z=f(x,y)在的某邻域内有定记为9同理可定义函数z=f(x,y)在点处对y的偏导数:或如果函数z=f(x,y)在区域D内任一点

4、(x,y)处对x(或y)的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x,y的函数,称为函数z=f(x,y)对自变量x(或y)的偏导函数,记作107、高阶偏导数纯偏导混合偏导118、全微分概念如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量可以表示为其中A,B不依赖于而仅与x,y有关,点(x,y)可微分,称为函数在点(x,y)的即则称函数在全微分,记作12多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导139、复合函数求导法则全导数141510、全微分形式不变性无论是自变量的函数或中间变量的函数,它的全微分形式是一样的.1611、隐函数的

5、求导法则直接求导法1712、多元函数的极值定义极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.18多元函数取得极值的条件一阶偏导数同时为零的点,均称为多元函数的驻点.极值点注意驻点19,2021条件极值：对自变量有附加条件的极值．22