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1、线性规划常见题型及解法温故1．不在3x+2y<6表示的平面区域内的一个点是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（0，2）D．（2，0）2．已知点（3，1）和点（－4，6）在直线3x–2y+m=0的两侧，则（ ）A．m＜－7或m＞24B．－7＜m＜24C．m＝－7或m＝24D．－7≤m≤243．在△ABC中，三顶点坐标为A（2，4），B（－1，2），C（1，0），点P（x，y）在△ABC内部及边界运动，则z=x–y的最大值和最小值分别是（ ）A．3，1B．－1，－3C．1，－3D．3，－14．在直角坐标系中，满足不等式x２－y2
2、≥0的点（x，y）的集合（用阴影部分来表示）的是（ ）5．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是（）A．B．C．D．由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是 （ ）A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5]xyO22x=2y=2x+y=2BA解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小
3、值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组表示的平面区域的面积为 （ ） A、4 B、1 C、5 D、无穷大2x+y–6=0=5x＋y–3=0OyxABCMy=2解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足
4、x
5、＋
6、y
7、≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个xyO解：
8、x
9、＋
10、y
11、≤2等价于作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到
12、整点个数为13个，选D四、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。例4、已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为 （ ） A、－3 B、3 C、－1 D、1x+y=5x–y+5=0Oyxx=3解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D练习．已知实数满足若目标函数取得最小值时最优解有无数个，则实数的值为A． B． C． D．1例5已知变量，满足约
13、束条件。若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为。解析：如图5作出可行域，由其表示为斜率为，纵截距为ｚ的平行直线系,要使目标函数（其中）仅在点处取得最大值。则直线过Ａ点且在直线（不含界线）之间。即则的取值范围为。点评：本题通过作出可行域，在挖掘的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。五、条件含参数形式，求目标函数最值范围。例3、在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是（）A.B.C.D.解
14、析：画出可行域如图3所示,当时,目标函数在处取得最大值,即;当时,目标函数在点处取得最大值,即,故,从而选D;点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z关于S的函数关系是求解的关键。六、求非线性目标函数的最值（1）当目标函数形如z=x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方例5、已知x、y满足以下约束条件 ，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（ ） A、13，1 B、13，2 C、13， D、，2x+y-2=0=5x–2y+4=03x–y–3=0OyxA解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x
15、，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即
16、AO
17、2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为，选C例2、已知则的最小值是.图2解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A（1，2）是满足条件的最优解。的最小值是为5。点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。（2）当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。例已知变量x，
18、y满足约束条件则的取值范围是（）.（A）[，6]（B）（－∞，]∪[6，＋∞）（C）（－∞，3]∪[6，＋∞）（D）[3，6]解析是可行域内的点M（x，y）与原点O（0，0）连线的斜率，当直线OM过点（，）时，取得最小值；当直线OM过点（1，6）时，取得最大值6.答案A六、求
