线性规划常见题型及解法(较全面及时上课用)

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1、餡®观创曙C®圃凹型隠启温故1.不在3x+2y<6表示的平面区域内的一个点是()2.已知点(3,1)和点(一4,A・mV—7或m>24C.m=—7或m=24A.(0,0)B・(1,1)C.(0,2)D.(2,0)6)在直线3x-2y+m=0的两侧，则B・一7VmV24D.-7WmW24点P(x,y)3.在ZABC中，三顶点坐标为A(2,4),B(-1,2),C(1,0),在AABC内部及边界运动，则z=x-y的最大值和最小值分别是A.3,14.在直角坐标系中，满足不等式x2-y2^0的点(x,y)的集合(用阴影部分来表示)的是(

2、)5.如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是()y>-2A.<3x-2y+6>0x<0y>-2C.<3x-2y+6>0x2A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线/:x+2y=0,将/向右上方平移，过点A(2,0)时，有

3、最小值2,过点B(2,2)时，有最大值6,故选A二、求可行域的面积2x+y-6>0例2、不等式组-3S0表示的平面区域的面积为()y<2作出可行域，△ABC的面积即为解：如图，所求，C>5D.无穷大由梯形0MBC的面积减去梯形0MAC的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足

4、x

5、+

6、y

7、W2的点(x,y)中整点(横纵坐标都是整数)有()(x>0,y>0)(x>O,y^O)(xyO,沖0)(xY0,yY0)A.9个B.10个C.13个D.14个x^y<2解：

8、x

9、+

10、y

11、W2等价于%~}~2-x^y<2-x-y<2作出可行域

12、如右图，是正方形内部(包括边界〉，容易得到整点个数为13个，选D已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。兀+沖5例4、已知x、y满足以下约束条件+使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优x<3解有无数个，则a的值为B、3解：如图，作出可行域，作直线/:x+ay=O,要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将/向右上方平移后与直线x+y=5重合，故a=1,选D练习.已知实数兀』满足x>0,2x-2y+1<0.若目标函数乙=ax+y（aH0）取得］i小值时图5最优解有无数个，则实数°的值为A.-1l<^+

13、y<4例5已知变量x,y满足约束条件j_2<%_>?<2o若目标函数Z=ax+y（其中d>0）仅在点（3,1）处取得最大值，则Q的取值范围为解析：如图5作出可行域，由z=ax+y^>y=-ax+z其表示为斜率为-匕，纵截距为z的平行直线系，要使目标函数z=ar+y（其中。〉0）仅在点（3,1）处取得最大值。则直线y=-or+z过A点且在直线x+^=4,x=3（不含界线）之间。即—av—1二>6/>1.则d的取值范围为（l,+oo）。点评：本题通过作出可行域,在挖掘-d与Z的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系

14、，建立满足题设条件的0的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。五、条件含参数形式,求目标函数最x>0y>0例3、在约束条件]y+尢a,下，当3"W5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是()y+2x<4A.16,15]B.[7,15」C.[6,8]D.[7,8]解析：画岀可行域如图3所示，当3"<4时，目标函数z=3x+2y在B(4-头2s-4)处取得最大值,即=3(4-s)+2(2s-4)r+4w[7,8)；当4SsS5时，目标函数z=3x+2y在点E(0,4)处取得最大值,即zm

15、ax=3x0+2x4=8,故zw[7,8],从而选D;点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z关于S的函数关系是求解的关六、求非线性目标函数的最值(1)当目标函数形如z=x2+y2是点(x,y)到原点的距离的平方2x+y-2>0例5、已知x、y满足以下约束条件x-2y+4>0,则z=x2+y2的最大值和最小值分别是()3x-y-3<0A.13,1B、13,2C、13,-D、V13,巫解：如图，作出可行域,x2+y2是点(x,y)到原点的距离的平方，故最大值为点A(2,3)到原点的距离的平方，即

16、A0

17、

18、2=13,最小值为原点到直线2x+y-2=0的距离的43x-y-3=0/

19、平方，即为一，选Cx>1,例2、已知<兀一『+1<0,则x2+y2的最小值是2x-y-2<0解析：如图2,只要画出满足约束条件的可行域，而扌+)，2表示可行域内一点到原点的