关于列向量组的秩与方程组解的个数问题的研究.doc

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1、因为要考研，重新研究线性代数。做到李永乐全书435页3,4题时，总是很晕。后来干脆花大气力把它一类题弄憧。彻夜思考，研究出来的结论，作为笔记留下来，分享给大家。希望对你们有用：书上有个定理是这样的：向量组al,a2,...am线性相关的充分必要条件是它们所构成的矩A=(al,a2,...am)的秩的个数小于向量个数m;向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m0事实上，判断一组列向量是否线性相关，最直观的就是看列向量的个数与列向量极大无关组的个数、即列向组的秩的大小关系。例如，列向量极大无关组为r个向量，即列向量的秩为r.如果现在有s>

2、r个列向量，那么这一组列向最肯定是线性相关的。这是显而易见的。反过来，现在有m个列向量，如果列向量的秩vm,那么肯定有这一组列向量线性相关。现在的问题来了.这个定理上并没有判断列向量的秩，而是直接给出矩阵的秩，这是不是意味看矩阵的矩就能代表列向量组的秩呢？并旦，在实际做题的时候，通过化行阶递形矩阵，我们能得到的是行向量的一个极大无关组，进而知道行向量组的秩，这是不是意味着行向量组的秩能代表矩阵的秩。进而,引申到一个最终的问题:Amxn阶矩，行向量组的秩与列向量组的秩相等？？？这个问题我想了很久，给不出有力的证明。但书上又有一个说法:任何

3、一个mxn阶矩阵，总能通过实行变换变成一个r阶的单位阵，也就是说初等变换后行向量组的秩与列向量组的秩都是r。而书上又有，初等变换不改变矩阵的秩(其实质是不改变行向量组的秩，也不改变列向量组的秩)，于是我们可以得知原来mxn的秩阵的m个行向:晨组的秩为r,n个列向量组的秩也为r。山此可知，在判断列向景组是否线性相关时，我们可以直接比较列向量的个数与行向量组的秩(矩阵的秩、列向量组的秩)。这个理论的应用：(1)判断齐次方程Ax=O的解的个数问题：a.当A是n阶矩阵(方阵)时，有结论IAI不等于。时，只有零解。这是很显然的，IAI不等于零意味

4、着n个行向最和n个列向量都是线性无关的。而n个列向量线性无关就表示方程只有零解。b.当A是mxn阶矩阵时，容易理解俺阵的秩(列向量组的秩)I•一定小于或等于m,n个较小的一个。当mvn时，则rv=m,所以一•定有n>r,而不用通过化阶递等方式去判断具体的r是多少。列向量的个数大于列向量组的秩，肯定有列向量线性相关。当m>n时，虽然一•定知道同rv=m,但不知道r与n的大小关系。所以这时候不能直接观察得出结论了，只有通过具体化简，矩阵化成行阶递形矩阵来看行向量组的秩(矩阵的秩、列向量组的秩)r。如果rvn,则说明n个行向量有多余的，即n个

5、列向量线性相关。也就是方程有非零解；如果r=n,则说明n个列向漏线性无关。也就是齐次方程只有零解；按代数的观点来看，nvm,rv=m,还有可能r>n呢。但矩阵的特性决定了不会有这样的情况。(2)判断非齐次方程Ax=b的解的个数问题：其中A(al,a2...an)A是mxn阶矩阵，常见书上提到的判断方法是：a.若r(A)=r(B)=r=n则说明，b是可以由A矩阵的列向量组表示，而且唯一，也就是说非齐次线性方程组有唯一解。b.若r(A)=r(B)

6、'(。盘2,。1-6/2)i=a+al(a,a2,a-a2)2_o_1=ai+a2所以说，当r(A)=r(B)

7、量的秩相等，所以列向量的秩也为r,所以列向最b,与系数列向量组线性相关。所以一定可以判断，b能山(al,a2,...an)线性表现,即方程有解。但至于有多少个解，那就要看，列向景:组自身是线性相关还是线性无关的。如果n>m,那么系数列向量线性相关，山(a)的判断可知，此时有方程组无穷多解；如果n=m,那么系数列向量线性无关，山(b)的判断可知,此时方程组有唯一解。有点不好理解，但如果真正理解了，线性方程组解的问题的判断就一•通百通了。