秩与线性方程组的解

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1、§3线性方程组的解与秩通过线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩判断线性方程组的解的情况几个结论线性方程组有解的充分必要条件线性方程组有唯一解的充分必要条件线性方程组有无穷多解的充分必要条件应用两直线的位置关系直线与平面的位置关系7/24/20211线性方程组有解判别定理定理3.2设线性方程组(3.1)有解.proofproof7/24/20212例子3.1解:线性方程组(3.2)的增广矩阵为范德蒙德矩阵,所以线性方程组(3.2)无解.7/24/20213例子3.2解法一:方程的数目与未知量的数目相同.先算出系数矩阵的行列式：无穷多解7/24/20214例子3.2(续)解法二

2、:用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯矩阵7/24/20215例子3.2(续2)方程组有唯一解.方程组无解(此时阶梯形方程组的第3个方程为``0=3'').3)当a=1时,方程组有无穷多解(此时阶梯形方程组的第2,3个方程均为``0=0'').7/24/20216例题3.3解法一:先计算系数矩阵A的行列式:7/24/20217例题3.3(续)解法二:用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯矩阵.7/24/20218例题3.3(续2)7/24/20219例题3.3(续3)解得7/24/202110两直线的位置关系设两条直线都用一般方程表示,即它们的位置关系取决于下述方程组的解的情况7/

3、24/202111两直线的位置关系（续）7/24/202112直线与平面的位置关系两者的位置关系取决于下述线性方程组的解的情况7/24/202113定理3.1的证明则方程组(3.1)等价于向量的等式:由此得到线性方程组(3.1)有解back7/24/202114定理3.2的证明即方程组的解唯一.由此可得方程组有无穷多解.back7/24/202115