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《数学培优竞赛新方法(九年级)-第14讲-锐角三角函数.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第14讲锐角三角函数知识纵横古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等。正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的的通用形式。三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数学结合的桥梁之一，有一下丰富的性质：1.单调性2.互余三角函数间的关系3.同角三角函数之间的关系。平方关系商数关系倒数关系例题求解【例1】（1）如图，在正方形中，是的中点，是上异于的点，且,则
2、的值为.（全国初中数学联赛题）(2)已知在中，是锐角，且，则=.（黄冈市竞赛题）思路点拨对于（1），由，分别延长交于，可构造等腰三角形，作于，通过相似三角形建立线段关系；对于（2），过作于，这样由三角函数定义得到线段的比，,,设，解题的关键是求出的值。【例2】如图，在中，，，则=A.B.C.D.（全国初中数学联赛试题）【例3】如图，在直角坐标系中，已知中，,点的坐标分别为（1）求过点直线的函数表达式.（2）在轴上找一点，连接，使得与相似（不包括全等），并求点的坐标.（3）在（2）的条件下，如果分别是和AD的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似，如存在，
3、求出的值，如不存在，请说明理由。（济南市中考题）思路点拨对于（3），根据相似三角形的传递性，把与相似的问题转化为与相似的问题，按直角顶点分情况讨论。解本例的关键是：是三个直角三角形的公共角，其正切值贯穿解题的始终。【例4】已知⊙O过点，点与点关于轴对称，过作⊙O的切线交轴于点（如图1）．（1）求⊙O半径；（2）的值；（3）如图2，设⊙O与轴正半轴交点，点是线段上的动点（与点不重合），连接并延长交⊙O于点，直线交轴于点，若是以为底的等腰三角形，试探索的大小怎样变化？请说明理由．（宁波市中考题）思路点拨连,运用切线性质、垂径定理是解题的基础。对于（3），通过角的
4、转化，设法计算的值。【例5】已知：在中，，是方程的两个根．（1）求实数应满足的条件；（2）若满足（1）的条件，方程的两个根是否等于中两锐角A、B的正弦？（江苏省竞赛题）思路点拨由韦达定理、三角函数关系建立等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数应满足的条件。正弦、余弦的有界性【例6】设是直角三角形的三边，为斜边，整数，求证：（福建省竞赛题）学历训练基础夯实1.如图，已知是的直径，弦,,,那么的值是（成都市中考题）第3题第2题第1题2.如图2，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是。（济南市中考题）3.如图3，在中，,，
5、则的面积为。（2011年昆明市中考题）4.在中，均为锐角，,且,则的值为（2008年浙江省中考题）第7题第6题第5题5.如图，在中，,则=()A.B.C.D.（安徽省中考题）6.如图，在图，在中，,则的值是（）A.B.C.D.（2011年荆州市中考题）7.如图，是平面镜，光线从点出发经上的点反射后照射到点，若入射角为（入射角等于反射角），于，于，且,则的值为（）A.B.C.D.（重庆市中考题）8.如图，直角三角纸片的两直角边长分别为，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为,则的值是（）A.B.C.D.（泰安市中考题）9.如图，等腰梯形中，,翻折梯形，使点重合
6、于点，折痕分别交边于点，若，求（1）的长；（2）的正切值。（上海市中考题）7.如图，在中，以直径的分别交于点，点在延长线上，且。求证：(1)直线是⊙O的切线。(2)若，求和的长。第10题（2011年北京市中考题）8.如图，在直角梯形中，.（1）求梯形的面积；（2）点分别是上的动点，点从点出发向点运动，点从点出发向点运动。若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接，求面积的最大值，并说明此时的位置。第11题（济南市中考题）能力拓展7.若且。（武汉市选拔赛试题）8.已知是两个锐角，且满足，则实数所有可能值的和为。（2011年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛题）
7、9.如图，等腰直角三角形中，,为的中点，将折叠，使点与点重合。若为折痕，则的值为，的值为.（第19届江苏省竞赛题）第14题第15题第16题10.如图，在中，为边上的一点，若的面积为，则=。（2011年四川省竞赛题）11.如图，在梯形中，是上的一点，则的值等于（）。A.B.C.D.（天津市竞赛题）7.如图，已知为等腰直角三角形，若则和的大小关系为（）。A.B.C.D.无法确定8.已知为实数，且是关于的方程的两根，则的值为（）。A.B.C.D.（全国初中数学联赛题）9.如图，锐角中，分别是上的高，则（）。A.B.C.D.第19题第20题第21题10.如图，在中，
8、分别是斜边上的高和中线，，若,求的值。（第18届江苏
