2010高三数学高考《函数》专题学案：函数的定义域和值域.doc

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1、第2课时函数的定义域和值域基础过关一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式的集合.2．常见的三种题型确定定义域：①已知函数的解析式，就是.②复合函数f[g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的域是外函数f(x)的域.③实际应用问题的定义域，就是要使得有意义的自变量的取值集合.二、值域：1．函数y＝f(x)中，与自变量x的值的集合.2．常见函数的值域求法，就是优先考虑，取决于，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为法和法）例如：①形如y＝，可采用法；②y＝，可采用法或法；③y＝a[f

2、(x)]2＋bf(x)＋c，可采用法；④y＝x－，可采用法；⑤y＝x－，可采用法；⑥y＝可采用法等.典型例题例1.求下列函数的定义域：（1）y=;(2)y=;(3)y=.解：（1）由题意得化简得即故函数的定义域为{x

3、x＜0且x≠-1}.（2）由题意可得解得故函数的定义域为{x

4、-≤x≤且x≠±}.（3）要使函数有意义，必须有即∴x≥1,故函数的定义域为［1，+∞）.变式训练1：求下列函数的定义域：用心爱心专心（1）y=+(x-1)0;(2)y=+(5x-4)0;(3)y=+lgcosx;解：（1）由得所以-3＜x＜2且x≠1.故所求函数的定义

5、域为（-3，1）∪(1,2).（2）由得∴函数的定义域为（3）由,得借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为例2.设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域.（1）y=f(3x);(2)y=f();(3)y=f(;(4)y=f(x+a)+f(x-a).解：（1）0≤3x≤1,故0≤x≤,y=f(3x)的定义域为［0,］.（2）仿（1）解得定义域为［1，+∞).（3）由条件，y的定义域是f与定义域的交集.列出不等式组故y=f的定义域为.（４）由条件得讨论：①当即0≤a≤时，定义域为［a,1-a］;②当即-≤a≤0时，定义域为［

6、-a,1+a］.综上所述：当0≤a≤时，定义域为［a，1-a］；当-≤a≤0时，定义域为［-a，1+a］.变式训练2：若函数f(x)的定义域是［0，1］，则f(x+a)·f(x-a)（0＜a＜）的定义域是（）A.B.［a，1-a］C.［-a，1+a］D.［0，1］用心爱心专心解：B例3.求下列函数的值域：（1）y=(2)y=x-;(3)y=.解：（1）方法一（配方法）∵y=1-而∴0＜∴∴值域为.方法二（判别式法）由y=得(y-1)∵y=1时,1.又∵R，∴必须=(1-y)2-4y(y-1)≥0.∴∵∴函数的值域为.（2）方法一（单调性法）定义域

7、，函数y=x,y=-均在上递增，故y≤∴函数的值域为.方法二（换元法）令=t,则t≥0，且x=∴y=-（t+1）2+1≤（t≥0）,∴y∈（-∞，］.（3）由y=得,ex=∵ex＞0,即＞0,解得-1＜y＜1.∴函数的值域为{y

8、-1＜y＜1}.变式训练3：求下列函数的值域：（1）y=;(2)y=

9、x

10、.解：（1）(分离常数法)y=-，∵≠0,∴y≠-.故函数的值域是{y

11、y∈R,且y≠-}.(2)方法一(换元法)∵1-x2≥0,令x=sin,则有y=

12、sincos

13、=

14、sin2

15、,故函数值域为［0，］.用心爱心专心方法二y=

16、x

17、·∴0≤y≤

18、即函数的值域为.例4．若函数f（x）=x2-x+a的定义域和值域均为［1，b］（b＞1），求a、b的值.解：∵f（x）=(x-1)2+a-.∴其对称轴为x=1，即［1，b］为f（x）的单调递增区间.∴f（x）min=f（1）=a-=1①f（x）max=f（b）=b2-b+a=b②由①②解得变式训练4：已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6(x∈R).（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a的值；（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a

19、a+3

20、的值域.解：(1）∵函数的值域为［0，+∞),∴Δ=16a2-4(2a+6)=02a2-a-3=0∴a=-1

21、或a=.（2）对一切x∈R，函数值均非负,∴Δ=8(2a2-a-3)≤0-1≤a≤,∴a+3＞0,∴f(a)=2-a(a+3)=-a2-3a+2=-(a+)2+(a).∵二次函数f(a)在上单调递减，∴f（a）min=f=-，f（a）max=f（-1）=4，∴f(a)的值域为.小结归纳1．求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.2．