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《不等式的证明及著名不等式知识梳理及典型练习题(含答案).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、不等式的证明及著名不等式一、知识梳理1．三个正数的算术—几何平均不等式(1)定理 如果a，b，c均为正数，那么____，当且仅当________时，等号成立．即三个正数的算术平均________它们的几何平均．(2)基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均________它们的几何平均，即____，当且仅当______________时，等号成立．2．柯西不等式一、二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式的变式:二、一般形式的柯西不等式三、排序不等式3.贝努利不等式若x∈R，且x>－1，x≠0，n>1，n∈N，则(1＋x)n>1＋.4．证明不等式的方法(1)比较法[来
2、源:z&m]①作差：知道a>b⇔a－b>0，ab，只要证明______即可，这种方法称为求差比较法．②作商：由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明______即可，这种方法称为求商比较法．(2)综合法与分析法；(3)反证法、放缩法；(4)数学归纳法．对于一个与自然数相关的命题集合，如果：①证明起始命题成立；②假设时命题成立，证明也成立；那么可以断定该命题对一切自然数成立．二、练习1．(2013·陕西)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．答案 2解
3、析 由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时“＝”成立，得(am＋bn)(bm＋an)≥(·＋)2＝mn(a＋b)2＝2.2．[2014·陕西卷]设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为________．[解析]由柯西不等式可知(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2，即5(m2＋n2)≥25，当且仅当an＝bm时，等号成立，所以≥.3．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为________．答案 解析 (＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.当且仅当a＝b＝
4、c＝时，等号成立．4.(2012·福建)已知函数f(x)＝m－
5、x－2
6、，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.审题破题 (1)从解不等式f(x＋2)≥0出发，将解集和[－1,1]对照求m；(2)利用柯西不等式证明．(1)解 因为f(x＋2)＝m－
7、x
8、，f(x＋2)≥0等价于
9、x
10、≤m.由
11、x
12、≤m有解，得m≥0，且其解集为{x
13、－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.(2)证明 由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥2＝9
14、.5．（2013新课标Ⅱ（理））选修4—5;不等式选讲设均为正数,且,证明:(Ⅰ);(Ⅱ).【答案】6．（2013福建（理））不等式选讲:设不等式的解集为,且,.(1)求的值;(2)求函数的最小值.【答案】解:(Ⅰ)因为,且,所以,且解得,又因为,所以(Ⅱ)因为当且仅当,即时取得等号,所以的最小值为7．（2013江苏卷）[选修4-5:不定式选讲]已知>0,求证:8.【2014·江苏卷][选修45：不等式选讲]已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.证明：因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥3>0，1＋x2＋y≥3>0，故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝
15、9xy.9.[2014·辽宁卷]选修45：不等式选讲设函数f(x)＝2
16、x－1
17、＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.(1)求M；(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤.解：(1)f(x)＝当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，故1≤x≤；当x＜1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x＜1.所以f(x)≤1的解集M＝.(2)由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得16≤4，解得－≤x≤，因此N＝，故M∩N＝.当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝xf
18、(x)＝x(1－x)＝－≤.10.[2014·新课标全国卷Ⅱ]选修45：不等式选讲设函数f(x)＝＋
19、x－a
20、(a＞0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．解：(1)证明：由a>0，有f(x)＝＋
21、x－a
22、≥＝＋a≥2，所以f(x)≥2.(2)f(3)＝＋
23、3－a
24、.当a>3时，f(3)＝a＋，由f(3)<5得3
