不等式的证明及著名不等式

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1、第二讲　不等式的证明及著名不等式1．基本不等式(1)定理：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．(2)定理(基本不等式)：如果a，b>0，那么____，当且仅当______时，等号成立．也可以表述为：两个____的算术平均__________________它们的几何平均．(3)利用基本不等式求最值：对两个正实数x，y，①如果它们的和S是定值，则当且仅当______时，它们的积P取得最____值；②如果它们的积P是定值，则当且仅当______时，它们的和S取得最____值．2．三个正数的算术—几何平均不等式(1)定理　如果a，b，c均为正数，那么_

2、___，当且仅当________时，等号成立．即三个正数的算术平均________它们的几何平均．(2)基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均________它们的几何平均，即____，当且仅当______________时，等号成立．3．柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一

3、个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则

4、α·β

5、≤

6、α

7、

8、β

9、，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．4．证明不等式的方法(1)比较法①求差比较法知道a>b⇔a－b>0，ab，只要证明______即可，这种方法称为求差比较法．②求商比较法由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明______即可，这种方法称为求商比较法．(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的__________，直到将待证不等式归结为一个已成

10、立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式______的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．(5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地____________，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立．(6)数学归纳法设{Pn}是一个与自然

11、数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P1(或P0)成立；(2)在假设Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么可以断定{Pn}对一切自然数成立．1．已知a<0，b<0，且>，则a，b的大小关系为______．2．已知a、b、m均为正数，且a0，b>0，则P＝lg(1＋)，Q＝[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]的大小关系为________．5．设a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为________.　　　　　　　　

12、　　　　　　　　　　　题型一　柯西不等式的应用例1　已知3x2＋2y2≤6，求证：2x＋y≤.　思维升华　使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，二维形式的柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．　若3x＋4y＝2，则x2＋y2的最小值为______．题型二　用综合法或分析法证明不等式例2　已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(1)(－1)·(－1)·(－1)≥8；(2)＋＋≤.　思维升华　用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反

13、的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．　设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：(1)a＋b＋c≥；(2)＋＋≥(＋＋)．　　题型三　放缩法或数学归纳法例3　若n∈N*，Sn＝＋＋…＋，求证：