几个著名的不等式

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1、【本讲教育信息】一.教学内容：几个著名的不等式 二、本周教学目标：1、掌握柯西不等式、平均不等式等几个著名不等式的基本形式和特点．2、会用参数配方法证明柯西不等式，体会构造方程解决数学问题的思想．3、能将基本不等式推广到一般形式．4、掌握利用均值不等式、柯西不等式在求函数最值中的应用，体会不等式与其它知识及现实世界的联系。 三、本周知识要点：定理1：设a，b，c，d均为实数，则当且仅当时等号成立。定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β是平面上的两个向量，则当且仅当两个向量方向相同或相反时等号成立．定理3：（柯西不等式的一般形式）给定两组实数；有，（*）当且仅当时等号成立

2、。证明：（1）若全为0，则结论显然成立；（2）若不全为0，则，为首项系数大于0的一元二次函数，并且，故的判别式，即显然，当且仅当时等号成立。定理4：设为任意实数，则这个不等式通常称为三角形不等式定理5：n个正数的算术—几何平均不等式：其中，称为这n个正数的算术平均，称为这n个正数的几何平均．这个不等式通常称为算术－几何平均不等式，它表明：n个正数的算术平均不小于它们的几何平均． 【典型例题】例1.设a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，求证：证明：左边＝　　＝＝ 证：原不等式等价于 证：设，则根据三角不等式，即得 例4.把一条长为m的绳子截成三段，各围成一个正方形．怎样截法

3、才能使这三个正方形的面积和最小?解：设三段的长度各为x，y，z则x＋y＋z＝m．三个正方形的面积和为因为当且仅当x＝y＝时等号成立，所以有最小值，从而S有最小值 例5.已知x≠0，当x取什么值时，x2＋的值最小?最小值是多少?分析：注意到x2＋是和的形式，再看x2·＝81为定值，从而可求和的最小值解：x≠0x2＞0，＞0，∴x2＋≥2＝18，当且仅当x2＝，即x＝±3时取“＝”号故x＝±3时，x2＋的值最小，其最小值是18 【模拟试题】1.已知3x＋y＝10，则为（）A.B.10C.1D.1002.若n>0，则＋的最小值为__________．3.已知a，b，c是正实数，

4、且abc＝1，则的最小值为（）A.3B.6C.9D.124.已知，求证：（用三种方法）  【试题答案】1.B2.3.A4.证明：另法一：另法二：即，