6几个著名的不等式1doc

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1、6几个著名的不等式在不等式的证明中，掌握一些常用的不等式是必要的，下面我们对几个常用的著名不等式作一介绍。1基本原理先介绍排序不等式，设与是两组实数，且，，我们将称为这两组实数的顺序积和，将称为这两组实数的倒序积和，设是的一个排列，则称为这两组实数的乱序积和。对于这3类积和我们有如下结论：定理1（排序不等式）设，，是的一个全排列，则有，等号全成立的充要条件是或.证我们先用数学归纳法证明.（1）当时，因为，所以时，（1）式成立。假设对于时（1）式成立，即，其中是1,2,的一个排列，那么对于，设是1,2，的一个全排列，则当时，由归纳假设知，=，所以（1）式成立当时，必存在，，使得，则，即时（1

2、）式成立。由归纳法原理知对于，（1）式成立.再证.事实上，因为，由（1）知，对于1,2，的一个排列，有，∴.再证等号成立的条件，充分性是显然的.我们用反证法证明必要性.若结论不成立，即在=（2）的条件下，不全相等，也不全相等，则存在，，使得，.不妨设，则有，，从而有，所以>(3)(3)与（2）矛盾.排序不等式表明对于两组实数，其顺序积和最大，倒序积和最小，乱序积和居中，顺序积和与倒序积和相等的充要条件是这两组实数中有一组全相等。推论1若对于，有，则，等号成立的条件是.证由对称性，不妨设，则.有排序不等式，有.等号成立的条件是或，即.推论2若对于，，且，则.等号成立的充要条件是.证令则，这里

3、均为正实数，由推论1知，.等号成立的充要条件是，即.定理2设是个正数，令（调和平均值），（几何平均值），（算术平均值），（平方平均值），则有（）(调和平均几何平均不等式)；（）(几何平均算术平均不等式)；（）（算术平均平方平均不等式）.这些不等式又统称为均值不等式.等号成立的充要条件是.证（）(1),由定理1的推论2知（1）式成立，故（）成立.等号成立的充要条件是，即.（）(2),所以由定理1的推论2知（2）成立，故（）成立.显然等号成立的充要条件是.（）令，再令，，则.∴=0,.等号成立的充要条件是，即.定理3（切比雪夫不等式）设与是两组实数，且，，则（1）等号成立的充要条件是或.证由排

4、序不等式，有，，，…，将上述个式子相加，得，∴，即（1）式左边的不等式成立.由排序不等式等号成立的条件知当且仅当或时等号成立.因为，由上面的证明可知，，∴.等号成立的充要条件是或.由切比雪夫不等式可知，对于两组实数，其顺序积的算术平均值不小于这两组实数的算术平均值的积，倒序积和的算术平均值不大于这两组数的算术平均值的积。定理4（柯西不等式）对任意实数和，有，等号成立的条件是存在不全为零的实数和，使得对于有，即与对应成比例.证若，则，不等式成立.当时，作关于x的二次函数.∵，且，所以，∴.从上面证明不难看出等号成立的条件.3方法解读运用上述几个不等式解答竞赛试题，首先应对各个不等式的特点与功

5、能有透彻的了解，然后根据试题的特点，合理的选择不等式和变形方法.在应用这些不等式解题时应注意约分、有理化、升幂与降幂、排序等方法的应用，下面我们通过实例来说明这些方法.例1已知都是正数，求证：（1）方法1（用切比雪夫不等式）不妨设，则，由切比雪夫不等式，有，化简即得（1）.方法2（用柯西不等式）.例1设已知是实数，满足试确定的最大值.证由算术平方平均不等式得：，从而有，，解之得.当时，，因此的最大值为.例3（第26届美国奥林匹克试题）证明对所有正数有（1）证由排序不等式知，从而有.例4（2005年日本数学奥林匹克）若正实数满足，求证.证∵，由均值不等式，得，∴.同理可得将上述3个不等式相加

6、，得.例5设非负实数满足，求的最小值.证由对称性，不妨设，则由不等式（9）知，.等号成立的充要条件是即时等号成立，所以的最小值为.例6（2004年中国香港数学集训队试题）证明对于任意正实数均有解上述3个式子相加，得，所以习题61.设是正数，且q求证：.2.设都是正数，求证：.4.已知求证：.