几个著名不等式

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1、2.2几个著名不等式2.2.1著名不等式柯西不等式对于任意两组实数和有上述不等式只有当时，等号才能成立．证明因为对任意x，有将上式展开得上述二次三项式对任意x均大于等于0，故其判别式不能大于0，所以当判别式等于0时，上述方程有重根，设重根为x=k，则这时所以上述不等式只有当时等号才能成立。如令，则得柯西不等式在高等代数中的意义是：两个向量的数积不大于两个向量长度的乘积．若则其中例１若都是正数，求证证明构造两个实数列则由柯西不等式得即*赫勒德尔不等式由柯西不等式可得但所以有同理有一般地有现在证明上述不等式对任意不等于2m的正整数也成立（假定所有数列均为正数列）．设共k个实数列设共k个再令则有

2、但所以所以即该不等式对任意不等于2m的整数k也成立．上述不等式的证明有些麻烦，不好记，现用反归纳法给出一个简洁的证明．由证明知，不等式对无穷多个自然数k=2m成立．现在假设不等式对m=k成立．（是k个数列）≤但是左边所以即不等式对m=k-1也成立。由反归纳法知，不等式对任意整数k均成立．例２设非负实数满足求证．证明当n=1时，结论显然正确．假设命题在n=k时正确，非负实数满足则成立．现设为k+1个非负实数，满足要证令，则由归纳假设但是，因为，所以所以证毕如果令．这里均为正实数，则得现在证明下面不等式其中均为正有理数，且证明上面的不等式称为赫勒德尔不等式．当为正无理数且满足条件时，上述不等式

3、当然也成立，只要根据“每一无理数都有理数的极限”，便可证明．最后，再应用“算术平均值大于几何平均值”来证明赫勒德尔不等式．对于，得即于是有所以上式是两个实数列的赫勒德尔不等式．对三个实数列情况，即令这时即赫勒德尔不等式对三个实数列也成立．同理可得赫勒德尔不等式又四个…实数列也成立。令这里．则得当时，上式就是柯西不等式．由上述不等式可得其中，所以即上述不等式称为明可夫斯基不等式．当k=2时，它的几何意义是两个向量和的模小于每个向量模的和．2.2.2凸函数下面我们给出凸函数定义及其性质．定义2.1如果函数f(x)满足以下条件：对任意x1和x2，有其中，则称f(x)为下凸函数．如果函数f(x)满

4、足下面条件，对任意的x1和x2有其中，则称f(x)为上凸函数．凸函数的几何意义分别用图２－１和图２－２表示．下凸函数的几何特征是曲线f(x)上的点均在相应弦的下方，而上凸函数的几何特征是曲线f(x)上的点均在弦的上方．显然，当时，即是x1与x2中间的点．反之，当x是x1与x2中间的点时，即x1

5、形知是上凸函数．所以令，则有除去对数符号，得如果令，上式的意义即为算术平均值大于几何平均值．例４设这时（以后说明为什么下凸函数，所以是下凸函数消去，得除去对数符号，得令，则得即几何平均值大于等于的调和值．例５求证圆内接n边形中，以正n边形面积为最大．证明设圆的半径为Ｒ，内接n边形的面积为Ｓ，n边形各边所对应的圆心角为．则因为都区间是上凸函数．所以上式只有在时等号才能成立，也就是说正n边形面积最大．最后我们给出一些与分析有关的不等式．例６若，求证证明因为，令，所以在上式中，如果令，则令，得另一方面，因为所以当，有令，得当时，．