不等式的证明及著名不等式

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1、第二讲 不等式的证明及著名不等式1.基本不等式(1)定理:如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.(2)定理(基本不等式):如果a,b>0,那么____,当且仅当______时,等号成立.也可以表述为:两个____的算术平均__________________它们的几何平均.(3)利用基本不等式求最值:对两个正实数x,y,①如果它们的和S是定值,则当且仅当______时,它们的积P取得最____值;②如果它们的积P是定值,则当且仅当______时,它们的和S取得最____值.2.三个正数的算术—几何平均不等式(1)定理 如果a,b,c均为正数,那么____,当

2、且仅当________时,等号成立.即三个正数的算术平均________它们的几何平均.(2)基本不等式的推广对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均________它们的几何平均,即____,当且仅当______________时,等号成立.3.柯西不等式(1)设a,b,c,d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立.(2)设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=k

3、bi(i=1,2,…,n)时,等号成立.(3)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则

4、α·β

5、≤

6、α

7、

8、β

9、,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.4.证明不等式的方法(1)比较法①求差比较法知道a>b⇔a-b>0,ab,只要证明______即可,这种方法称为求差比较法.②求商比较法由a>b>0⇔>1且a>0,b>0,因此当a>0,b>0时要证明a>b,只要证明______即可,这种方法称为求商比较法.(2)分析法从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的__________,直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)

10、.这种证法称为分析法,即“执果索因”的证明方法.(3)综合法从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证,推导出所要证明的不等式成立,即“由因寻果”的方法,这种证明不等式的方法称为综合法.(4)反证法的证明步骤第一步:作出与所证不等式______的假设;第二步:从条件和假设出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结论,否定假设,从而证明原不等式成立.(5)放缩法所谓放缩法,即要把所证不等式的一边适当地____________,以利于化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得到欲证不等式成立.(6)数学归纳法设{Pn}是一个与自然数相关的命题集合,如果:(1)证明起始命

11、题P1(或P0)成立;(2)在假设Pk成立的前提下,推出Pk+1也成立,那么可以断定{Pn}对一切自然数成立.1.已知a<0,b<0,且>,则a,b的大小关系为______.2.已知a、b、m均为正数,且a0,b>0,则P=lg(1+),Q=[lg(1+a)+lg(1+b)]的大小关系为________.5.设a、b、c是正实数,且a+b+c=9,则++的最小值为________.                   题型一 柯西不等式的应用例1

12、 已知3x2+2y2≤6,求证:2x+y≤. 思维升华 使用柯西不等式时,关键是将已知条件通过配凑,转化为符合柯西不等式条件的式子,二维形式的柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立. 若3x+4y=2,则x2+y2的最小值为______.题型二 用综合法或分析法证明不等式例2 已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求证:(1)(-1)·(-1)·(-1)≥8;(2)++≤. 思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”,分析法证明不等式是“执果索因”,它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程,表述简单、条理清楚,

13、所以在实际应用时,往往用分析法找思路,用综合法写步骤,由此可见,分析法与综合法相互转化,互相渗透,互为前提,充分利用这一辩证关系,可以增加解题思路,开阔视野. 设a,b,c>0,且ab+bc+ca=1.求证:(1)a+b+c≥;(2)++≥(++).  题型三 放缩法或数学归纳法例3 若n∈N*,Sn=++…+,求证:

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1、第二讲 不等式的证明及著名不等式1.基本不等式(1)定理:如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.(2)定理(基本不等式):如果a,b>0,那么____,当且仅当______时,等号成立.也可以表述为:两个____的算术平均__________________它们的几何平均.(3)利用基本不等式求最值:对两个正实数x,y,①如果它们的和S是定值,则当且仅当______时,它们的积P取得最____值;②如果它们的积P是定值,则当且仅当______时,它们的和S取得最____值.2.三个正数的算术—几何平均不等式(1)定理 如果a,b,c均为正数,那么____,当

2、且仅当________时,等号成立.即三个正数的算术平均________它们的几何平均.(2)基本不等式的推广对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均________它们的几何平均,即____,当且仅当______________时,等号成立.3.柯西不等式(1)设a,b,c,d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立.(2)设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=k

3、bi(i=1,2,…,n)时,等号成立.(3)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则

4、α·β

5、≤

6、α

7、

8、β

9、,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.4.证明不等式的方法(1)比较法①求差比较法知道a>b⇔a-b>0,ab,只要证明______即可,这种方法称为求差比较法.②求商比较法由a>b>0⇔>1且a>0,b>0,因此当a>0,b>0时要证明a>b,只要证明______即可,这种方法称为求商比较法.(2)分析法从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的__________,直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)

10、.这种证法称为分析法,即“执果索因”的证明方法.(3)综合法从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证,推导出所要证明的不等式成立,即“由因寻果”的方法,这种证明不等式的方法称为综合法.(4)反证法的证明步骤第一步:作出与所证不等式______的假设;第二步:从条件和假设出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结论,否定假设,从而证明原不等式成立.(5)放缩法所谓放缩法,即要把所证不等式的一边适当地____________,以利于化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得到欲证不等式成立.(6)数学归纳法设{Pn}是一个与自然数相关的命题集合,如果:(1)证明起始命

11、题P1(或P0)成立;(2)在假设Pk成立的前提下,推出Pk+1也成立,那么可以断定{Pn}对一切自然数成立.1.已知a<0,b<0,且>,则a,b的大小关系为______.2.已知a、b、m均为正数,且a0,b>0,则P=lg(1+),Q=[lg(1+a)+lg(1+b)]的大小关系为________.5.设a、b、c是正实数,且a+b+c=9,则++的最小值为________.                   题型一 柯西不等式的应用例1

12、 已知3x2+2y2≤6,求证:2x+y≤. 思维升华 使用柯西不等式时,关键是将已知条件通过配凑,转化为符合柯西不等式条件的式子,二维形式的柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立. 若3x+4y=2,则x2+y2的最小值为______.题型二 用综合法或分析法证明不等式例2 已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求证:(1)(-1)·(-1)·(-1)≥8;(2)++≤. 思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”,分析法证明不等式是“执果索因”,它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程,表述简单、条理清楚,

13、所以在实际应用时,往往用分析法找思路,用综合法写步骤,由此可见,分析法与综合法相互转化,互相渗透,互为前提,充分利用这一辩证关系,可以增加解题思路,开阔视野. 设a,b,c>0,且ab+bc+ca=1.求证:(1)a+b+c≥;(2)++≥(++).  题型三 放缩法或数学归纳法例3 若n∈N*,Sn=++…+,求证:

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