函数、极限、连续 练习题.doc

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1、函数、极限、连续二、典型例题题型一复合函数例1、设,，试求.解：.例2、.（可用图像法）例3、已知的定义域为，求的定义域.解：则，即的定义域为，于是，故.例4、设和互为反函数，则的反函数为(B)(A)(B)(C)(D)解：，则，即，于是，即故的反函数为.题型二函数性态例1、定义于上的下列函数为奇函数的是(C)(A)(B)(C)(D)例2、当时，变量是(D)（注意函数的局部性质）(A)无穷小(B)无穷大(C)有界量(D)无界量注：当时，若，则；若，则.例3、设，下列结论成立的是(C)(A)存在,当时，(B)存在,当时，(C)若,则存在,当时，(D)若当时,,那么.注1：若，则对，存

2、在,当时，总有（局部有界）.注2：若，当时,,那么（局部保号）.例4、在下列区间中有界的是(A)(A)(B)(C)(D)注：若在内连续，且,则在内有界.题型三未定式计算（限于，，，，另三种，以后讲）例1、求极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）解（1）：原式.（找老大，去小口算；同除老大显算法）解（2）：原式.解（3）：原式=.（找同阶老大，去小口算；同除老大显算法）原式（是错的）注：等价无穷小代换可在中对较复杂的“0”进行等价代换，当分子（母）由各无穷小因子相乘时，可对较复杂的无穷小因子进行等价，这能保证整体也等价；而当分子（母）由各无穷小因子相加（减）时

3、，一般不能对各无穷小因子进行等价，一种处理为和差化积，一种处理为各分项同除最低次等价项（同阶老大）后看能否拆开.解（4）：原式.注：当时，.解（5）：原式.解（6）：原式.解（7）：原式.注：.题型四极限存在题型例1、判断下列极限存在吗？（1）；（2）；（3）；（4）（5）；（6）（7）提示：（6）因，则原式（7）注1：时，，，，的极限不存在，先研究时，，的极限不存在，只需注意其为有界量，，也可考虑有界量性质注2：一个收敛数列与另一个发散数列之和必发散，对函数有类似结论注3：注意分段函数在分段点处的极限一般用左右极限来处理注4：当有限和难以表达时，对无限个无穷小求和可以考虑使用夹

4、逼准则注5：极限函数的求法，要注意对取值范围的讨论，如等.例2、求其中.提示：令，则，则原式=（本题的结论是一个常用结论）.例3、设，且（C）(A)存在且等于零(B)存在但不一定等于零(C)不一定存在(D)一定不存在提示：若，由夹逼定理可得，故不选A与D.取，则，且，但不存在，B不正确．例4、设，则数列有界是数列收敛的（C）(A)充分必要条件(B)充分非必要条件（C）必要非充分条件（D）即非充分地非必要条件.例5、设，求.解：由题意，知，先证收敛，由数学归纳法知有上界.又，即由单调有界定理知收敛，令易知解得，即.注：（1）对数列，若有递推表达式，则一般使用单调有界准则证明数列的收

5、敛性.（2）若，有时也会用证明数列的单调性.（3）对此类题，往往利用递推表达式先定出极限，再证明数列的界性，最后研究其单调性.（4）若该题改为：设，，求.则分三种情况讨论：若，用单调增上有界完成；若，则；若，用单调减下有界完成.题型五极限应用题型（先讲无穷小比较、渐近线确定、间断点类型，以后再研究可导性判断）例1、当时，用表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（D）（A）（B）（C）（D）解：对于（D）可找出反例，如当时，但．例2、已知当时,与是等价无穷小,求的值.解：,则,显然.例3、求曲线的渐近线方程.解：为其铅直渐近线又为其斜渐近线.注：记忆各类渐近线的确定方法：①若，，

6、称为一条水平渐近线，一个函数至多有两条不同的水平渐近线；②若，，称为的一条铅直渐近线；③若，，称为的一条斜渐近线.例4、试确定的间断点，并判断其类型.解：其间断点为（），因，则为其可去间断点；又，此时，（）为其第二类间断点而为其跳跃间断点.例5、，试确定该函数的渐近线，并判断其间断点类型。解：为其铅直渐近线，且为其第二类间断点；为其水平渐近线；又为其水平渐近线；而，故为其第一类中的跳跃间断点.例6、求证：设在间断，在连续，则在间断.并举例说明在可能连续.提示：设，，则在间断，在连续，在连续；若设，在间断，但在均连续.注：“在点连续”是“在点连续”的充分不必要条件.三、课后练习1（

7、A）、，，则．2（A）、当时，．3（B）、．（提示：用图像法）4（A）、与相同的函数为（B）（A）（B）（C）（D）5（A）、已知则．6（A）、设，，则．7（A）、设，又，则的定义域为．8（A）、当时，下列函数哪个是无穷大量（C）（A）（B）（C）（D）9（B）、当时，是（D）（A）无穷小（B）无穷大（C）有界但非无穷小（D）无界但非无穷大10（A）、下列命题正确的是（C）（A）无穷小是很小的数，无穷大是很大的数（B）无穷小的倒数是无穷大（C）无穷大的倒数是无穷小（D）无穷小与无