3、Q（）'，z）一1+Q（3）1+/?（），,z）=d（x,y）+d（y,z）故』也是X上的度量。2,设H是内积空间，天则当尤〃—尤,乂Ty时"（七，月）t（寻），），即内积关于两变元连续。证明：
4、（%X,）一（x,y）I2=
5、（x/t-x,>;-y）2<\xn-x\-\ytt-y\己知即II
6、七一尤II—0,
7、
8、乂一>
9、
10、—0。故有I，以）一（x,y）『—。即Cw〃）T（x,y）。5.设7x（r）=若T是从心［0,1］-匕［0,1］的算子，计算
11、
12、T
13、
14、;若T是从ZJ0,1］tZJ0,1］的算子再求1171。解：（1）当T是从ZJ0,l］—匕［0,1］的算子。取x&）=同,贝j］
15、
16、x（）
17、
18、2=1>
19、
20、片）川=［后广出=*.所以
21、
22、T
23、
24、>-^e故有11『11=±・（2）当T是从ZJ0,1］tZJ0,1］的算子时
25、
26、八
27、
28、2=（。誓⑴力度严=nxii2Vn,(!--
29、1)511片,11广右(]温顿度=右[—]，/21—(1)5]一(1)5又lim
30、
31、Txn
32、
33、2=limV^[]l/2=lim[]IZ2=1〃—885〃T815•-n故有叮
34、
35、=1.6.若
36、
37、•
38、
39、是C[a,b]±的另一完备范数(原范数记为
40、
41、・
42、L)，并且当
43、
44、xz,-x
45、H0时必有IQ)-x(r)HO,(V/g",b])，则
46、
47、•
48、
49、与
50、
51、•IL等价.证明：定义r：(C"”],llll)—(C[Q/],l
52、・IL)，Tx=xyxeC[a.b].因为(C[。,切,
53、
54、・
55、
56、)与(C[o/],
57、
58、•IL)完备，显然T是一一的到上的线性算子，故只须证明T是连续算子.V
59、
60、
61、x〃f
62、
63、T0,
64、
65、7riLT。由己知\xn一X
66、
67、->0时，必有
68、Q)-xQ)
69、-»O,(Vre[a.b]).IITxn-y—0,即%(，)一致收敛到y(z).由收敛的唯一性知x(t)=>70、
71、•
72、
73、)与(CS,8],
74、
75、•IL)完备，由闭算子定理得,T是连续算子.四论述题:1、证明C[ayb]完备，并叙述证明空间完备的一般步骤。2、证明
76、
77、x
78、
79、=inaxx(r)为爪展]上范数，并论述证明范数的一般步骤。te[a.b]
