泛函分析习题

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1、泛函分析练习题一名词解释：1.范数与线性赋范空间2.无处稠密子集与第一纲集3.紧集与相对紧集4.开映射5.共轭算子6.内点、内部：7.线性算子、线性范函：8.自然嵌入算子9.共轭算子10.内积与内积空间：11.弱有界集：12.紧算子：13.凸集14.有界集15.距离16.可分17.Cauchy列18.自反空间二、定理叙述1、压缩映射原理2.共鸣定理3.逆算子定理4.闭图像定理5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理6、Baire纲定理7、开映射定理8、Riesz表现定理三证明题：1.若是度量空间

2、，则也使成为度量空间。证明：显然有（1），当且仅当。（2）（3）由，关于单调递增，得故也是上的度量。2，设是内积空间，，则当时，，即内积关于两变元连续。证明：已知，即。故有即。3.考虑上的非线性积分方程其中是上的连续函数，满足证明当足够小时，此方程存在唯一解。证明：令则T是的算子。并且所以。故当足够小时，T为到的压缩算子，由压缩映射原理，存在唯一的，使得，也即此方程存在唯一解4.若函数族在紧集上等度连续并且点点收敛，则在A上一致收敛。证明：由在紧集A上等度连续，有令上式两端令得，。因为为紧集，存在的

3、有限网，对存在，s.t.有故此即在A上一致收敛。5.设若是从的算子，计算若是从的算子再求。解：（1）当是从的算子。所以。取，则所以。故有（2）当T是从的算子时所以取，则。又所以故有6.若是上的另一完备范数(原范数记为),并且当时必有,,则与等价.证明:定义,因为与完备,显然是一一的到上的线性算子,故只须证明是连续算子.由已知时,必有,.,即一致收敛到.由收敛的唯一性知.所以为闭算子,又与完备,由闭算子定理得,是连续算子.7.若并且，则。证，令，。则。由，知，即故有。8．应用Höder不等式证明，若是

4、上定义的非负可测函数，，则.证令，此题得证。9.设，有界且满足阶Lipschitz条件则是中的相对紧集。证，取，则有故为等度连续函数。又为有界，故由Arzela-Ascoli定理知是相对紧集。四论述题：1、证明完备，并叙述证明空间完备的一般步骤。2、论述紧集、相对紧集、完全有界集、有界集的关系。3、证明为上范数，并论述证明范数的一般步骤。