金融工程与风险管理（南京大学 林辉） financial engineering and risk management .ppt

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金融工程与风险管理第5章衍生金融工具的风险分析（2）：欧式期权 5.1　B-S模型的理论基础弱式有效市场与马尔可夫过程1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说（EMH），该假说认为:前提：投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬。推论：证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息。只有新信息才能引起价格的变动，而新信息是不可预测的，故价格的变化不可预测。价格变化（回报）不可预测，等价于回报是相互独立的。 EMH根据市场对信息集包含的信息进行分类：弱式、半强式和强式弱式有效市场：市场价格已经包含了历史上所有的交易信息（价格和交易数量等）。EMH与可用马尔可夫过程（MarkovStochasticProcess）如果证券价格遵循马尔可夫过程，该过程具有“无后效性”，其未来价格的概率分布与历史无关。衍生资产的定价问题的关键：标的资产的波动的假设。B-S模型假设：资产价格的波动服从几何布朗运动，它是一种特殊的马尔可夫过程。 5.2维纳过程根据有效市场理论，股价、利率和汇率具有随机游走性（不可预测性），这种特性可以采用Wienerprocess，它是Markovstochasticprocess的一种。对于随机变量w是Wienerprocess，必须具有两个条件：在某一小段时间Δt内，它的变动Δw与时段Δt满足 （5.1）2.在两个不重叠的时段Δt和Δs,Δwt和Δws是独立的，这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！（5.2）有效市场 满足上述两个条件的随机过程，称为维纳过程，其性质有当时段的长度放大到T时（从现在的0时刻到未来的T时刻）随机变量ΔwT的满足 证明： 若Δt→0，由（5.1）和（5.2）得到（5.3）（5.4）所以，的分布性质为以上得到的随机过程，称为维纳过程。 程序：维纳过程的模拟%假设初始点为0，由标准正态分布产生随机数300个，这样将1个单位时间等分为300个等分rnd=random('norm',0,1,300,1);%建立初始的零向量，用来放置计算的结果w=zeros(1,300);fori=1:299w(i+1)=w(i)+rnd(i+1)*(1/300)^0.5;endx=[1:1:300];wplot(x,w) B-S模型证明思路ITO引理ITO过程B-S微分方程B-S买权定价公式 5.3伊藤引理一般维纳过程(GeneralizedWienerprocess)可表示为（5.5）显然，一般维纳过程的性质为 一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂的变动特征。漂移率和方差率为常数不恰当若把变量xt的漂移率a和方差率b当作变量x和时间t的函数，扩展后得到的即为ITO过程 B-S期权定价模型是根据ITO过程的特例－几何布朗运动来代表股价的波动，不妨令省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程（5.6）目的：证券的预期回报与其初始价格无关。 思考：一般维纳过程的缺陷若将价格变化表示为 伊藤引理：若某随机变量x的变动过程可由ITO过程表示为（省略下标t）（令f(x,t)为随机变量x以及时间t的函数，即f(x,t)可以代表以标的资产x的衍生证券的价格）则f(x,t)的变动过程可以表示为（5.7） 证明：将（5.7）离散化由（5.1）知利用泰勒展开，忽略高阶项，Δf(x,t)可以展开为（5.8） 因此，（5.8）可以改写为（5.9）保留1阶项，忽略1阶以上的高阶项 即Δx2不呈现随机波动！（5.10） 由（5.10）可得（5.11）由（5.11）得到（5.12） 由于Δx2不呈现随机波动，所以，其期望值就收敛为真实值，即当Δt→0时，由（5.9）可得■ 命题：设当前时刻为t，若股票价格服从几何布朗运动则T时刻股票价格满足对数正态分布5.4几何布朗运动与对数正态分布 令则这样由ITO引理得到即 由（5.1） 则称ST服从对数正态分布，ST的期望值为所以 5.5B-S模型的推导Black、Scholes和Merton发现了看涨期权定价公式，Scholes和Merton也因此获得1997年的诺贝尔经济学奖模型基本假设8个无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变化。标的股票不支付红利期权为欧式期权 无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷市场投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，均为无风险利率股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量的标的股票对卖空没有任何限制标的资产为股票，其价格S的变化为几何布朗运动 5.5.1B-S微分方程假设标的资产价格变动过程满足这里S为标的资产当前的价格，令f(s,t)代表衍生证券的价格，则f(s,t)的价格变动过程可由ITO引理近似为 假设某投资者以1个单位的衍生证券空头和δ份的标的资产多头来构造一个组合，且δ满足则该组合的收益为 例：无套利定价与期权的风险对冲假设一种不支付红利的股票，目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，问题：求一份3个月期执行价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。 为了找出该期权的价值，可构建一个由1单位看涨期权空头和m单位的标的股票多头组成的组合。若股票价格＝11，则该期权执行，则组合收益为11m－0.5若股票价格＝9，则该期权不执行，则组合收益为9m为了使该组合在期权到期时无风险，m必须满足下式：11m－0.5＝9m，即m=0.25组合价值为2.25元 由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场价格为10元，因此，从无套利出发，期权费f（期权的价值）必须满足根据无套利定价原理，无风险组合只能获得无风险利率，所以组合的现值为 下面将证明该组合为无风险组合，在Δt时间区间内收益为 注意到此时Δπ不含有随机项w，这意味着该组合是无风险的，设无风险收益率为r，且由于Δt较小（不采用连续复利），则整理得到 B-S微分方程的意义衍生证券的价格f，只与当前的市价S，时间t，证券价格波动率σ和无风险利率r有关，它们全都是客观变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会对f的值产生影响。因此，B-S微分方程构造了一个风险中性世界。在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价，即所有证券的预期收益率都等于无风险利率r。只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微分方程求出价格f。 释义：风险中性定价假设一种不支付红利的股票，目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，问题：求一份3个月期执行价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。 理解：在我们这个世界上，一共有3种人，风险规避者、偏好者和风险中性者，但是证券的价格只有一个。所以，证券的定价对风险中性者也是适用的，风险中性者也必须以同样的价格来购买证券。因为风险中性的投资者不需要额外的风险补偿，在由风险中性者构成的子世界，所有证券的预期收益率都等于无风险收益率。风险中性者与风险规避者最大的区别是：二者对证券价格变化的概率不同。启发：改变各个状态出现的概率，使风险资产的回报率等于无风险收益率——超额收益率为0。 风险中性者与规避者例如某个证券，风险规避者是这样定价的而在风险中性者是这样定价的注意：证券的上涨概率增加，但同时贴现率也增加，所以定价不变。所以风险中性世界的定价仍能够用于现实的世界！ 风险中性定价原理风险中性定价原理：在这个改变了概率的世界里，所有证券的预期收益率都等于无风险利率r，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假定风险中性概率仅仅是为方便定价给出的参数，它与我们概率论中所讲的概率具有本质的不同联系：数学中的坐标变换、微观经济学中的效用？ 假定存在风险中性世界，股票上升的概率为p，下跌的概率为1-p。（虽然有实际的概率，但可以不管），由于风险中性，则该股票无超额收益，其回报率只有无风险利率同样，在风险中性的世界里，可以赋予期权价值的概率，该期权同样只能获得无风险收益率，则期权的现值为风险中性世界，所有证券都只能获得无风险收益率！ 5.5.2B-S买权定价公式对于欧式不支付红利的股票期权，其看涨期权（买权）的在定价日t的定价公式为 （1）设当前时刻为t，到期时刻T，若股票价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t的股票价格为st=S,则T时刻的股票价格的期望值为B-S买权定价公式推导（5.13） （5.14）由（5.13）和（5.14）得到（5.15）根据B-S微分方程可知，定价是在风险中性条件下，则资产的期望回报为无风险回报，则这表明：在风险中性的世界中，任何可交易的金融资产的回报率均为无风险利率。 （2）在风险中性的条件下，任何资产的贴现率为无风险利率r，故买权期望值的现值为第1项第2项 推导第1项 令由此得到 被积函数为： y的积分下限为y的积分上限为 这样就完成了第1项的证明。 推导第2项首先进行变量代换，令 则z的积分下限z的积分上限 将z和dz代入 由两个部分的推导得到 pr0dN(d)例如:当d＝1.96时,N(d)＝95.5% 5.5.3B-S模型的含义由Z的积分下限可知，N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说式欧式看涨期权被执行的概率。Xe-r(T-t)N(d2)是X的风险中性期望值的现值。StN(d1)=e-r(T-t)STN(d1)是ST的风险中性期望值的现值。 S=100，X=95，r=0.10,T=0.25(quarter)，=0.50，则d1=[ln(100/95)+(0.10+(052/2))]/(05×0.251/2)=0.43N(d1)=N(0.43)=0.6664d2=0.43+((050.251/2)=0.18，N(d2)=N(0.18)=0.5714CallOptionExample期权的价值关于标的资产的价格及其方差，以及到期时间等5个变量的非线性函数Ct=f(St,X,τ,σ,r)的函数。 5.6欧式看跌期权的定价利用金融工程技术来看待期权平价关系考虑任意t时刻，如下两个组合：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金组合B：一份有效期和执行价格与上述看涨期权相同的欧式看跌期权，加上一单位标的资产 组合A到期时刻T的收益组合B到期时刻T的收益两个组合在T时刻具有相同的价格，且由于欧式期权不能提前执行，则在t时刻两个组合价值也必然相等（无套利原理）即此为看涨看跌期权平价公式。 从几何图性上看，二者对影响期权的关键指标都进行了变换，是关于纵向对称的。 根据泰勒公式对期权价格进行二阶展开，忽略高阶项DeltaThetaVegaRhoGamma5.6期权的风险分析这里省略S的下标t 命题：欧式看涨期权的Delta=N(d1) 练习蒙特卡洛模拟几何布朗运动：假设初始价格为100元的某股票的回报率服从漂移率为零，波动率为10%的几何布朗运动，单位时间1被分为100等分，模拟10次以上，并得到最终的价格分布。计算：求欧式看涨期权的Theta和Vega